ГДЗ до вправи 10.15 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $\dfrac{|x| - 4}{x^2 - 36} \ge 0, \ x \neq \pm 6 \Rightarrow \dfrac{|x| - 4}{(x - 6)(x + 6)} \ge 0$.
Нулі: $x = \pm 4$; Точки розриву: $x = \pm 6$.
Метод інтервалів: $x \in (-\infty; -6) \cup [-4; 4] \cup (6; +\infty)$.

---

2) $\begin{cases} |x| - 3 \ge 0 \\ x + 4 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \le -3 \text{ або } x \ge 3 \\ x > -4 \end{cases}$.
Перетин: $x \in (-4; -3] \cup [3; +\infty)$.

Завдання 1:

Вираз під коренем 6-го степеня має бути $\ge 0$. Оскільки знаменник дробу $x^2 - 36$ перетворюється на нуль при $x = 6$ та $x = -6$, ці значення ми виключаємо одразу. Аналізуємо знак дробу $\dfrac{|x| - 4}{(x - 6)(x + 6)}$ на координатній прямій:

• При $x \in (-\infty; -6)$ чисельник та знаменник додатні $\Rightarrow$ весь дріб (+).
• При $x \in [-4; 4]$ чисельник від'ємний або нуль, а знаменник від'ємний $\Rightarrow$ весь дріб (+).
• При $x \in (6; +\infty)$ чисельник та знаменник додатні $\Rightarrow$ весь дріб (+).

Завдання 2:

Необхідно розв'язати систему обмежень:

1. Для першого кореня: $|x| \ge 3$. Це означає, що відстань від початку координат до точки $x$ не менше 3 одиниць ($x \le -3$ або $x \ge 3$).
2. Для другого кореня (у знаменнику): $x + 4 > 0$, отже $x > -4$.
3. Знаходимо спільну частину цих проміжків. Від $-4$ до $-3$ (включаючи $-3$) та всі числа від $3$ і вище.