ГДЗ до вправи 11.15 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 11.15
При яких значеннях $a$ і $b$ виконується рівність:
- $\sqrt[4]{ab} = \sqrt[4]{-a} \cdot \sqrt[4]{-b}$;
- $\sqrt[4]{-ab} = \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[4]{-b}$;
- $\sqrt[5]{ab} = \sqrt[5]{-a} \cdot \sqrt[5]{-b}$?
Розв'язок вправи № 11.15
Коротке рішення
1) Для існування правої частини: $\begin{cases} -a \ge 0 \\ -b \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a \le 0 \\ b \le 0 \end{cases}$.
2) Для існування правої частини: $\begin{cases} a \ge 0 \\ -b \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a \ge 0 \\ b \le 0 \end{cases}$.
3) Показник степеня непарний (5). На ОДЗ ($\mathbb{R}$): $\sqrt[5]{-a} \cdot \sqrt[5]{-b} = \sqrt[5]{(-a) \cdot (-b)} = \sqrt[5]{ab}$. Рівність виконується для будь-яких $a$ та $b$.
Детальне рішення
Ключ до розв’язання: Властивість $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$ для парних $n$ виконується лише тоді, коли кожен із множників $a$ та $b$ є невід'ємним. Якщо ж показник $n$ непарний, рівність виконується на всій множині дійсних чисел. Тема: Властивості кореня n-го степеня.
- У першому випадку: Корінь парного степеня (4) вимагає, щоб вирази під ним у правій частині були $\ge 0$. Це означає, що $-a \ge 0$ та $-b \ge 0$, тобто самі змінні $a$ та $b$ мають бути від'ємними або дорівнювати нулю.
- У другому випадку: Аналогічно, маємо систему: $a$ має бути невід'ємним ($a \ge 0$), а $-b$ також невід'ємним, що дає $b \le 0$. При таких умовах підкореневий вираз лівої частини $-ab$ автоматично стає невід'ємним (добуток додатного і від'ємного чисел з мінусом попереду).
- У третьому випадку: Оскільки 5 — непарне число, корені існують при будь-яких значеннях змінних. Добуток двох мінусів під коренем дає плюс, що підтверджує тотожність для всіх дійсних чисел.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.