ГДЗ до вправи 2.19 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 2.19
Непарна функція $f$ має 4 нулі. Доведіть, що $0 \notin D(f)$.
Розв'язок вправи № 2.19
Короткий розв'язок
Якби $0 \in D(f)$, то для непарної функції обов'язково $f(0) = 0$, і загальна кількість нулів була б непарною. Оскільки нулів 4 (парне число), то $0 \notin D(f)$.
Детальний розв'язок з поясненнями
Ключ до розв'язання: Доведення базується на властивості симетрії нулів непарної функції відносно початку координат. Більше про властивості функцій читайте у розділі Функції та їх властивості.
1) Нехай $x_0$ — нуль непарної функції $f$, тобто $f(x_0) = 0$. Тоді за властивістю непарності: $f(-x_0) = -f(x_0) = -0 = 0$. Це означає, що число $-x_0$ також є нулем функції.
2) Отже, всі ненульові нулі непарної функції завжди утворюють пари $(x_0; -x_0)$. Таким чином, кількість ненульових нулів завжди є парною.
3) Припустимо, що $0 \in D(f)$. Тоді для непарної функції обов'язково виконується умова $f(0) = 0$ (як було доведено у вправі 2.18). У такому разі число 0 стає додатковим нулем функції.
4) Тоді загальна кількість нулів була б: (парна кількість ненульових) + 1 (нуль у точці 0) = непарне число.
5) За умовою функція має 4 нулі. Число 4 — парне. Це можливо лише тоді, коли число 0 не є нулем функції. А оскільки для непарної функції, визначеної в нулі, $f(0)$ завжди дорівнює 0, то залишається єдиний варіант: точка 0 взагалі не входить до області визначення функції.
Доведено: $0 \notin D(f)$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.