ГДЗ до вправи 3.11 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 3.11
Скільки коренів має рівняння залежно від значення параметра $a$:
- $||x| - 1| = a$;
- $|(|x| - 1)^2 - 1| = a$;
- $|\sqrt{x} - 2| = a$?
Розв'язок вправи № 3.11
Короткий розв'язок
1) $a < 0$ — 0; $a = 0$ — 2; $0 < a < 1$ — 4; $a = 1$ — 3; $a > 1$ — 2.
2) $a < 0$ — 0; $a = 0$ — 3; $0 < a < 1$ — 6; $a = 1$ — 4; $a > 1$ — 2.
3) $a < 0$ — 0; $a = 0$ — 1; $0 < a \leq 2$ — 2; $a > 2$ — 1.
Детальний розв'язок з поясненнями
Ключ до розв'язання: Кількість коренів рівняння $f(x) = a$ відповідає кількості точок перетину графіка функції $y = f(x)$ з горизонтальною прямою $y = a$. Теорія: Функції та їх властивості.
1) $||x| - 1| = a$
Графік функції $y = ||x| - 1|$ має вигляд ламаної ("W-подібної").
- Якщо $a < 0$, пряма лежить нижче графіка — коренів немає.
- Якщо $a = 0$, пряма дотикається до осі $Ox$ у точках $x = \pm 1$ — 2 корені.
- Якщо $0 < a < 1$, пряма перетинає чотири вітки — 4 корені.
- Якщо $a = 1$, пряма проходить через локальний максимум $(0; 1)$ та дві крайні вітки — 3 корені.
- Якщо $a > 1$, пряма перетинає лише дві крайні вітки — 2 корені.
2) $|(|x| - 1)^2 - 1| = a$
Аналізуємо графік $y = |(|x| - 1)^2 - 1|$.
- При $a < 0$ — 0 коренів.
- При $a = 0$ рівняння має розв'язки $x=0, \pm 2$ — 3 корені.
- При $0 < a < 1$ пряма перетинає графік у 6 точках — 6 коренів.
- При $a = 1$ пряма проходить через точки, де $|x|=1$ та $|x|=1+\sqrt{2}$ — 4 корені.
- При $a > 1$ пряма перетинає лише дві зовнішні вітки — 2 корені.
3) $|\sqrt{x} - 2| = a$
Функція визначена при $x \geq 0$. Графік починається в точці $(0; 2)$, спадає до $(4; 0)$ і далі необмежено зростає.
- $a < 0$ — коренів немає.
- $a = 0 \Rightarrow \sqrt{x} = 2 \Rightarrow x = 4$ — 1 корінь.
- $0 < a < 2$: пряма перетинає графік на проміжках $(0; 4)$ та $(4; \infty)$ — 2 корені.
- $a = 2 \Rightarrow |\sqrt{x}-2|=2$: корені $x=0$ та $x=16$ — 2 корені.
- $a > 2$: пряма перетинає лише зростаючу вітку графіка — 1 корінь.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.