ГДЗ до вправи 3.15 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 3.15
При яких значеннях параметра $a$ рівняння $||x - 1| - 1| = x - a$ має безліч коренів?
Розв'язок вправи № 3.15
Короткий розв'язок
$a = 0$ або $a = 2$.
Детальний розв'язок з поясненнями
Ключ до розв'язання: Рівняння $f(x) = g(x)$ має безліч коренів, якщо графіки функцій у лівій та правій частинах мають спільний відрізок або промінь. Це можливо лише тоді, коли кутові коефіцієнти лінійних ділянок функцій збігаються. Теорія: Функції та їх властивості.
1) Розглянемо функцію $f(x) = ||x - 1| - 1|$. Розкриємо модулі залежно від значень $x$:
- Якщо $x \ge 2$, то $f(x) = |x - 1 - 1| = x - 2$;
- Якщо $1 \le x < 2$, то $f(x) = |x - 1 - 1| = |x - 2| = -x + 2$;
- Якщо $0 \le x < 1$, то $f(x) = |-(x - 1) - 1| = |-x| = x$;
- Якщо $x < 0$, то $f(x) = |-(x - 1) - 1| = |-x| = -x$.
2) Права частина рівняння — функція $g(x) = x - a$. Це пряма з кутовим коефіцієнтом $k = 1$.
3) Щоб рівняння мало безліч коренів, графік $g(x) = x - a$ має збігатися з тими ділянками графіка $f(x)$, де кутовий коефіцієнт також дорівнює 1. З аналізу вище бачимо дві такі ділянки:
- При $x \ge 2$ маємо $f(x) = x - 2$. Тоді $x - a = x - 2 \Rightarrow a = 2$.
- При $0 \le x \le 1$ маємо $f(x) = x$. Тоді $x - a = x \Rightarrow a = 0$.
При $a = 2$ рівняння має корені на промені $[2; +\infty)$, а при $a = 0$ — на відрізку $[0; 1]$. В обох випадках кількість коренів нескінченна.
Відповідь: 0; 2.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.