ГДЗ до вправи 3.16 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) Розглянемо кутові точки графіка функції $f(x) = |3|x + 1| - 2|$:

• Точка зламу модуля $|x + 1|$: $x = -1$. Тоді $f(-1) = |3 \cdot 0 - 2| = 2$. Отримуємо точку $P_1(-1; 2)$.
• Точки, де вираз під зовнішнім модулем дорівнює 0: $3|x + 1| - 2 = 0 \Rightarrow |x + 1| = \frac{2}{3}$.
  Корені: $x = -1 + \frac{2}{3} = -\frac{1}{3}$ та $x = -1 - \frac{2}{3} = -\frac{5}{3}$.
  Отримуємо точки $P_2(-\frac{1}{3}; 0)$ та $P_3(-\frac{5}{3}; 0)$.

2) Пряма $g(x) = a - x$ має постійний кутовий коефіцієнт $k = -1$. Кутові коефіцієнти віток графіка $f(x)$ дорівнюють $\pm 3$. Оскільки $|-1| < 3$, пряма $g(x)$ обов'язково перетинає "зовнішні" вітки графіка в будь-якому випадку.

3) Рівняння матиме рівно 3 корені, якщо пряма пройде через одну з кутових точок так, щоб утворився один додатковий перетин або точка дотику:

• Підставимо точку $P_1(-1; 2)$ у рівняння прямої: $2 = a - (-1) \Rightarrow a = 1$. При цьому значенні пряма проходить через локальний максимум графіка, що дає 3 корені.
• Підставимо точку $P_2(-\frac{1}{3}; 0)$: $0 = a - (-\frac{1}{3}) \Rightarrow a = -\frac{1}{3}$. Це дає проходження через нуль функції та забезпечує 3 точки перетину.
• Підставимо точку $P_3(-\frac{5}{3}; 0)$: $0 = a - (-\frac{5}{3}) \Rightarrow a = -\frac{5}{3}$. При такому значенні виникає лише 1 корінь, що не задовольняє умову.

Отже, шукані значення параметра $a = 1$ та $a = -\frac{1}{3}$.

Відповідь: 1; $-\frac{1}{3}$.