ГДЗ до вправи 3.12 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 3.12
Скільки коренів має рівняння залежно від значення параметра $a$:
- $|x^2 - 1| = a$;
- $|(x + 2)^2 - 3| = a$;
- $|(|x| - 2)^2 - 3| = a$?
Розв'язок вправи № 3.12
Короткий розв'язок
1) $a < 0$ — 0; $a = 0$ — 2; $0 < a < 1$ — 4; $a = 1$ — 3; $a > 1$ — 2.
2) $a < 0$ — 0; $a = 0$ — 2; $0 < a < 3$ — 4; $a = 3$ — 3; $a > 3$ — 2.
3) $a < 0$ — 0; $a = 0$ — 4; $0 < a < 1$ — 8; $a = 1$ — 7; $1 < a < 3$ — 6; $a = 3$ — 4; $a > 3$ — 2.
Детальний розв'язок з поясненнями
Ключ до розв'язання: Задача розв'язується методом дослідження кількості спільних точок графіка функції $y = f(x)$ та прямої $y = a$. Повторити матеріал: Функції та їх властивості.
1) $|x^2 - 1| = a$
- Якщо $a < 0$, то рівняння не має коренів.
- Якщо $a = 0$, маємо корені $x = \pm 1$ — 2 корені.
- Якщо $0 < a < 1$, пряма перетинає чотири вітки параболи — 4 корені.
- Якщо $a = 1$, пряма проходить через вершину $(0; 1)$ — 3 корені.
- Якщо $a > 1$, пряма перетинає дві зовнішні вітки — 2 корені.
2) $|(x + 2)^2 - 3| = a$
Логіка аналогічна до першого пункту, але вершина зміщена, а "пік" модуля знаходиться на висоті 3.
- $a < 0$ — 0 коренів.
- $a = 0$ — 2 корені.
- $0 < a < 3$ — 4 корені.
- $a = 3$ — 3 корені.
- $a > 3$ — 2 корені.
3) $|(|x| - 2)^2 - 3| = a$
Це складніша функція. Її графік симетричний відносно осі $Oy$. При $x \geq 0$ графік має "піки" у точках $x=0$ ($y=1$) та $x=2$ ($y=3$).
- $a < 0$ — 0 коренів.
- $a = 0$ — 4 корені (точки перетину з $Ox$).
- $0 < a < 1$ — 8 коренів.
- $a = 1$ — 7 коренів (один із них $x=0$).
- $1 < a < 3$ — 6 коренів.
- $a = 3$ — 4 корені (проходить через вершини при $x=\pm 2$).
- $a > 3$ — 2 корені.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.