ГДЗ до вправи 33.1 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $\sin x < \frac{1}{2}$

$-\pi - \arcsin \frac{1}{2} + 2\pi n < x < \arcsin \frac{1}{2} + 2\pi n \Rightarrow $
$-\frac{7\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{6} + 2\pi n$.

Відповідь: $(-\frac{7\pi}{6} + 2\pi n; \frac{\pi}{6} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin x \geqslant -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n \leqslant x \leqslant \pi - \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n \Rightarrow $
$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n \leqslant x \leqslant \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$.

Відповідь: $[-\frac{\pi}{3} + 2\pi n; \frac{4\pi}{3} + 2\pi n], n \in \mathbb{Z}$.

3) $\cos x > \frac{\sqrt{2}}{2}$

$-\arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n < x < \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n \Rightarrow $
$-\frac{\pi}{4} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{4} + 2\pi n$.

Відповідь: $(-\frac{\pi}{4} + 2\pi n; \frac{\pi}{4} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.

4) $\cos x \leqslant \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\arccos \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\pi n \leqslant x \leqslant 2\pi - \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\pi n \Rightarrow $
$\frac{\pi}{6} + 2\pi n \leqslant x \leqslant \frac{11\pi}{6} + 2\pi n$.

Відповідь: $[\frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{11\pi}{6} + 2\pi n], n \in \mathbb{Z}$.

5) $\text{tg } x < -1$

$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \text{arctg}(-1) + \pi n \Rightarrow -\frac{\pi}{2} + \pi n < x < -\frac{\pi}{4} + \pi n$.

Відповідь: $(-\frac{\pi}{2} + \pi n; -\frac{\pi}{4} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.

6) $\text{tg } x \geqslant \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\text{arctg} \frac{\sqrt{3}}{3} + \pi n \leqslant x < \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow \frac{\pi}{6} + \pi n \leqslant x < \frac{\pi}{2} + \pi n$.

Відповідь: $[\frac{\pi}{6} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.

7) $\text{ctg } x \leqslant \sqrt{3}$

$\text{arcctg} \sqrt{3} + \pi n \leqslant x < \pi + \pi n \Rightarrow \frac{\pi}{6} + \pi n \leqslant x < \pi + \pi n$.

Відповідь: $[\frac{\pi}{6} + \pi n; \pi + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.

8) $\text{ctg } x > -1$

$\pi n < x < \text{arcctg}(-1) + \pi n \Rightarrow \pi n < x < \frac{3\pi}{4} + \pi n$.

Відповідь: $(\pi n; \frac{3\pi}{4} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.

9) $\sin x < \frac{1}{6}$

$-\pi - \arcsin \frac{1}{6} + 2\pi n < x < \arcsin \frac{1}{6} + 2\pi n$.

Відповідь: $(-\pi - \arcsin \frac{1}{6} + 2\pi n; \arcsin \frac{1}{6} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.

10) $\text{tg } x > 3$

$\text{arctg } 3 + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$.

Відповідь: $(\text{arctg } 3 + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.

• Для нерівностей виду $\sin x < a$ та $\sin x > a$ ми дивимось на вісь $Oy$.
• Для нерівностей виду $\cos x < a$ та $\cos x > a$ ми дивимось на вісь $Ox$.
• Для $\text{tg } x$ та $\text{ctg } x$ використовуємо відповідні лінії тангенсів та котангенсів.
• Важливо пам'ятати про період: $2\pi n$ для синуса і косинуса, та $\pi n$ для тангенса і котангенса.