ГДЗ до вправи 33.7 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $\sin\left(\frac{\pi}{3} - x\right) + \cos\left(\frac{\pi}{6} - x\right) \geqslant \sqrt{3}$

$\sin\frac{\pi}{3}\cos x - \cos\frac{\pi}{3}\sin x + \cos\frac{\pi}{6}\cos x + \sin\frac{\pi}{6}\sin x \geqslant \sqrt{3}$

$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x - \frac{1}{2}\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x \geqslant \sqrt{3} \Rightarrow \sqrt{3}\cos x \geqslant \sqrt{3} \Rightarrow \cos x \geqslant 1$

$\cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi n$.

Відповідь: $2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

---

2) $\frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x} > \sqrt{3}$

$\frac{\text{tg } x + 1}{\text{tg } x - 1} > \sqrt{3} \Rightarrow -\frac{1 + \text{tg } x}{1 - \text{tg } x} > \sqrt{3} \Rightarrow \text{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right) < -\sqrt{3}$

$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x + \frac{\pi}{4} < -\frac{\pi}{3} + \pi n \Rightarrow -\frac{3\pi}{4} + \pi n < x < -\frac{7\pi}{12} + \pi n$.

Відповідь: $\left( -\frac{3\pi}{4} + \pi n; -\frac{7\pi}{12} + \pi n \right), n \in \mathbb{Z}$.

• У першому пункті після розкриття синуса різниці та косинуса різниці доданки з $\sin x$ взаємознищуються, що зводить нерівність до найпростішого виду.
• У другому пункті ми переходимо до тангенса, поділивши чисельник і знаменник на $\cos x$. Отриманий дріб згортається за формулою тангенса суми (з урахуванням зміни знаку через знаменник).