ГДЗ до вправи 33.10 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $2 \sin^2 x + \sqrt{3} \sin x - 3 \geqslant 0$

Нехай $\sin x = t, |t| \leqslant 1$. $2t^2 + \sqrt{3}t - 3 \geqslant 0 \Rightarrow t \leqslant -\sqrt{3} \text{ (неможливо) або } t \geqslant \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin x \geqslant \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \frac{\pi}{3} + 2\pi n \leqslant x \leqslant \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$

Відповідь: $[\frac{\pi}{3} + 2\pi n; \frac{2\pi}{3} + 2\pi n], n \in \mathbb{Z}$.

---

2) $\text{ctg}^2 x + \text{ctg } x \geqslant 0$

Нехай $\text{ctg } x = t$. $t(t + 1) \geqslant 0 \Rightarrow t \leqslant -1 \text{ або } t \geqslant 0$

$\text{ctg } x \leqslant -1 \Rightarrow \frac{3\pi}{4} + \pi n \leqslant x < \pi + \pi n$; $\text{ctg } x \geqslant 0 \Rightarrow \pi n < x \leqslant \frac{\pi}{2} + \pi n$

Відповідь: $(\pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n] \cup [\frac{3\pi}{4} + \pi n; \pi + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.

---

3) $4 \sin^4 x + 12 \cos^2 x - 7 < 0$

$4 \sin^4 x + 12(1 - \sin^2 x) - 7 < 0 \Rightarrow 4 \sin^4 x - 12 \sin^2 x + 5 < 0$

Нехай $\sin^2 x = t, t \in [0; 1]$. $4t^2 - 12t + 5 < 0 \Rightarrow \frac{1}{2} < t < \frac{5}{2} \Rightarrow \frac{1}{2} < \sin^2 x \leqslant 1$

$|\sin x| > \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} < x < \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$

Відповідь: $\left( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}; \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} \right), n \in \mathbb{Z}$.

---

4) $\frac{2}{\text{tg } x + 1} < 2 - \text{tg } x$

Нехай $\text{tg } x = t$. $\frac{2}{t + 1} - (2 - t) < 0 \Rightarrow \frac{2 - (2 - t)(1 + t)}{1 + t} < 0 \Rightarrow \frac{t^2 - t}{t + 1} < 0 \Rightarrow \frac{t(t - 1)}{t + 1} < 0$

$t \in (-\infty; -1) \cup (0; 1) \Rightarrow -\frac{\pi}{2} + \pi n < x < -\frac{\pi}{4} + \pi n \text{ або } \pi n < x < \frac{\pi}{4} + \pi n$

Відповідь: $(-\frac{\pi}{2} + \pi n; -\frac{\pi}{4} + \pi n) \cup (\pi n; \frac{\pi}{4} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.

• У пункті 1 розв'язок квадратного рівняння відносно $\sin x$ дає лише один змістовний проміжок.
• У пункті 2 розкладання на множники дозволяє швидко знайти межі для котангенса.
• У пункті 3 використано заміну $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ для отримання біквадратної нерівності.
• У пункті 4 приведення до спільного знаменника та метод інтервалів для змінної $t$ визначають остаточний вигляд проміжків.