ГДЗ до вправи 33.9 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $2 \cos^2 x + 3 \cos x - 2 < 0$

Нехай $\cos x = t, |t| \leqslant 1$. $2t^2 + 3t - 2 < 0 \Rightarrow -2 < t < \frac{1}{2}$

$-1 \leqslant \cos x < \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{\pi}{3} + 2\pi n < x < \frac{5\pi}{3} + 2\pi n$

Відповідь: $\left( \frac{\pi}{3} + 2\pi n; \frac{5\pi}{3} + 2\pi n \right), n \in \mathbb{Z}$.

---

2) $\text{tg}^2 x + (2 - \sqrt{3}) \text{tg } x - 2\sqrt{3} < 0$

Нехай $\text{tg } x = t$. $t^2 + (2 - \sqrt{3})t - 2\sqrt{3} < 0 \Rightarrow -2 < t < \sqrt{3}$

$-2 < \text{tg } x < \sqrt{3} \Rightarrow -\text{arctg } 2 + \pi n < x < \frac{\pi}{3} + \pi n$

Відповідь: $(-\text{arctg } 2 + \pi n; \frac{\pi}{3} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.

---

3) $2 \cos^2 \left( x + \frac{\pi}{6} \right) - 3 \sin \left( \frac{\pi}{3} - x \right) > -1$

$2 \sin^2 \left( \frac{\pi}{3} - x \right) - 3 \sin \left( \frac{\pi}{3} - x \right) + 1 > 0$

Нехай $\sin \left( \frac{\pi}{3} - x \right) = t. 2t^2 - 3t + 1 > 0 \Rightarrow t < \frac{1}{2} \text{ або } t > 1 \text{ (неможливо)}$

$\sin \left( \frac{\pi}{3} - x \right) < \frac{1}{2} \Rightarrow -\frac{7\pi}{6} + 2\pi n < \frac{\pi}{3} - x < \frac{\pi}{6} + 2\pi n \Rightarrow \frac{\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$

Відповідь: $\left( \frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \right), n \in \mathbb{Z}$.

---

4) $\text{tg } x \geqslant 2 \text{ctg } x$

$\text{tg } x - \frac{2}{\text{tg } x} \geqslant 0 \Rightarrow \frac{\text{tg}^2 x - 2}{\text{tg } x} \geqslant 0 \Rightarrow \frac{(\text{tg } x - \sqrt{2})(\text{tg } x + \sqrt{2})}{\text{tg } x} \geqslant 0$

$\text{tg } x \in [-\sqrt{2}; 0) \cup [\sqrt{2}; +\infty) \Rightarrow -\text{arctg } \sqrt{2} + \pi n \leqslant x < \pi n \text{ або } \text{arctg } \sqrt{2} + \pi n \leqslant x < \frac{\pi}{2} + \pi n$

Відповідь: $[-\text{arctg } \sqrt{2} + \pi n; \pi n) \cup [\text{arctg } \sqrt{2} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.

• У пунктах 1 та 2 застосовано стандартну заміну тригонометричної функції на нову змінну.
• У пункті 3 використано формулу зведення $\cos \alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$ для отримання однакових аргументів.
• У пункті 4 застосовано метод інтервалів для значень тангенса після приведення до спільного знаменника.