ГДЗ до вправи 33.8 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $\sin^6 x + \cos^6 x \geqslant \frac{5}{8}$

$(\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x) \geqslant \frac{5}{8}$

$1 - 3\sin^2 x \cos^2 x \geqslant \frac{5}{8} \Rightarrow 1 - \frac{3}{4}\sin^2 2x \geqslant \frac{5}{8} \Rightarrow \sin^2 2x \leqslant \frac{1}{2}$

$\frac{1 - \cos 4x}{2} \leqslant \frac{1}{2} \Rightarrow \cos 4x \geqslant 0 \Rightarrow -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \leqslant 4x \leqslant \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

$-\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2} \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$.

Відповідь: $\left[ -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}; \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2} \right], n \in \mathbb{Z}$.

---

2) $\sin x \geqslant \cos x$

$\sin x - \cos x \geqslant 0 \Rightarrow \sqrt{2}\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \geqslant 0$

$2\pi n \leqslant x - \frac{\pi}{4} \leqslant \pi + 2\pi n \Rightarrow \frac{\pi}{4} + 2\pi n \leqslant x \leqslant \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$.

Відповідь: $\left[ \frac{\pi}{4} + 2\pi n; \frac{5\pi}{4} + 2\pi n \right], n \in \mathbb{Z}$.

• У першому пункті сума шостих степенів перетворюється через формулу суми кубів та основну тригонометричну тотожність. Це дозволяє звести нерівність до функції $\cos 4x$.
• У другому пункті використано метод введення допоміжного кута для об'єднання синуса та косинуса в одну функцію, що спрощує пошук інтервалів на одиничному колі.