ГДЗ до вправи 34.1 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 34.1
Побудувавши графік функції $f$, з'ясуйте, чи має функція $f$ границю в точці $x_0$:
1) $f(x) = 2x - 1, x_0 = -1$;
2) $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}, x_0 = 2$;
3) $f(x) = \frac{1}{x}, x_0 = -2$;
4) $f(x) = \frac{1}{x}, x_0 = 0$;
5) $f(x) = k$, де $k$ — деяке число, $x_0 = 3$;
6) $f(x) = \frac{|x - 2|}{2 - x}, x_0 = 2$.
Розв'язання вправи № 34.1
Коротке рішення
1) $f(x) = 2x - 1, x_0 = -1$
$\lim_{x \to -1^-} (2x - 1) = -3$; $\lim_{x \to -1^+} (2x - 1) = -3 \Rightarrow \lim_{x \to -1} f(x) = -3$.
Відповідь: має границю.
2) $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}, x_0 = 2$
$f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2, x \neq 2 \Rightarrow \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4$.
Відповідь: має границю.
3) $f(x) = \frac{1}{x}, x_0 = -2$
$x_0 = -2 \in D(f) \Rightarrow \lim_{x \to -2} \frac{1}{x} = -\frac{1}{2} = -0,5$.
Відповідь: має границю.
4) $f(x) = \frac{1}{x}, x_0 = 0$
$\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$; $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty \Rightarrow$ границі не існує.
Відповідь: не має границі.
5) $f(x) = k, x_0 = 3$
$\lim_{x \to 3} k = k$.
Відповідь: має границю.
6) $f(x) = \frac{|x - 2|}{2 - x}, x_0 = 2$
При $x > 2: \frac{x-2}{-(x-2)} = -1$; при $x < 2: \frac{-(x-2)}{2-x} = \frac{2-x}{2-x} = 1 \Rightarrow -1 \neq 1$.
Відповідь: не має границі.
Детальне рішення
Ключ до розв'язання: Функція має границю в точці $x_0$, якщо її лівостороння та правостороння границі в цій точці рівні між собою. На графіку це виглядає як «зустріч» двох частин графіка в одній точці (навіть якщо сама точка виколота). Теорія: Функції та їх властивості.
- Для неперервних функцій (лінійних, сталих) границя завжди існує і дорівнює значенню функції в точці.
- Якщо функція має розрив типу «стрибок» (як у пункті 6) або йде у нескінченність (пункт 4), границя не існує.
- Виколота точка (пункт 2) не заважає існуванню границі.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.