ГДЗ до вправи 37.3 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $y = (x + 2)(x^2 - 4x + 5) = x^3 - 4x^2 + 5x + 2x^2 - 8x + 10 =$
$= x^3 - 2x^2 - 3x + 10$

$y' = (x^3 - 2x^2 - 3x + 10)' = 3x^2 - 4x - 3$

Відповідь: $3x^2 - 4x - 3$.

2) $y = (3x + 5)(2x^2 - 1) = 6x^3 - 3x + 10x^2 - 5 = 6x^3 + 10x^2 - 3x - 5$

$y' = (6x^3 + 10x^2 - 3x - 5)' = 18x^2 + 20x - 3$

Відповідь: $18x^2 + 20x - 3$.

3) $y = x^2 \sin x \Rightarrow y' = (x^2)' \sin x + x^2 (\sin x)' = 2x \sin x + x^2 \cos x$

Відповідь: $2x \sin x + x^2 \cos x$.

4) $y = x \text{ ctg } x \Rightarrow y' = (x)' \text{ ctg } x + x (\text{ ctg } x)' = \text{ ctg } x - \frac{x}{\sin^2 x}$

Відповідь: $\text{ ctg } x - \frac{x}{\sin^2 x}$.

5) $y = (2x + 1) \sqrt{x} \Rightarrow y' = (2x + 1)' \sqrt{x} + (2x + 1) (\sqrt{x})' =$
$= 2\sqrt{x} + \frac{2x + 1}{2\sqrt{x}} = \frac{4x + 2x + 1}{2\sqrt{x}} = \frac{6x + 1}{2\sqrt{x}}$

Відповідь: $\frac{6x + 1}{2\sqrt{x}}$.

6) $y = \sqrt{x} \cos x \Rightarrow y' = (\sqrt{x})' \cos x + \sqrt{x} (\cos x)' =$
$= \frac{1}{2\sqrt{x}} \cos x - \sqrt{x} \sin x = \frac{\cos x}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x} \sin x$

Відповідь: $\frac{\cos x}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x} \sin x$.

• У пунктах 1 та 2 ми спростили вирази шляхом множення дужок, після чого знайшли похідну суми.
• У пунктах 3-6 застосовано правило похідної добутку, оскільки множники є функціями різних типів (степеневі, тригонометричні, ірраціональні).
• Особливу увагу приділено зведенню до спільного знаменника у пунктах з коренем (п. 5 та 6).