ГДЗ до вправи 5.14 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $-(3x - 1)^3 (x + 2)^2 (x + 4)^5 (x - 3) > 0 \Rightarrow$

$(3x - 1)(x + 4)(x - 3)(x + 2)^2 < 0$.

Критичні точки: $-4$ (зміна), $-2$ (без зміни), $\frac{1}{3}$ (зміна), $3$ (зміна).

Відповідь: $(-\infty; -4) \cup (\frac{1}{3}; 3)$.

2) $(x + 5)(x - 3)(x - 1)(x - 3)(x - 1) \le 0 \Rightarrow$

$(x + 5)(x - 1)^2 (x - 3)^2 \le 0$.

Критичні точки: $-5, 1, 3$. Знаки: $(-)$ зліва від $-5$, $(+)$ справа від $-5$ (без зміни в $1$ та $3$).

Відповідь: $(-\infty; -5] \cup \{1\} \cup \{3\}$.

1) Розглянемо множники. Степені $3$ та $5$ (непарні) зберігають знак виразу, тому їх можна замінити на перший степінь. Множник у квадраті $(x+2)^2$ завжди невід'ємний. Винесемо мінус із $(1-3x)$, щоб отримати $x$ з додатним коефіцієнтом: $-(3x-1)(x+2)^2(x+4)(x-3) > 0$. Поділимо на $-1$: $(3x-1)(x+2)^2(x+4)(x-3) < 0$. Корені: $-4, -2, \frac{1}{3}, 3$. На крайньому правому інтервалі $(3; \infty)$ вираз додатний. Далі знаки чергуються скрізь, крім точки $-2$. Вибираємо проміжки з "мінусом".

2) Розкладемо квадратні тричлени: $x^2 + 2x - 15 = (x + 5)(x - 3)$; $x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)$. Підставимо в нерівність: $(x + 5)(x - 3)(x - 1)(x - 3)(x - 1) \le 0$. Згрупуємо однакові множники: $(x + 5)(x - 3)^2 (x - 1)^2 \le 0$. Вираз $(x-3)^2(x-1)^2$ завжди невід'ємний. Отже, основний знак нерівності визначається множником $(x + 5)$. Він від'ємний при $x < -5$. Також не забуваємо про точки, де вираз дорівнює нулю: $-5, 1$ та $3$.