ГДЗ до вправи 5.9 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 5.9
Розв’яжіть нерівність:
- $(x - 4)^2(x^2 - 7x + 10) < 0$;
- $(x - 4)^2(x^2 - 7x + 10) \le 0$;
- $(x - 4)^2(x^2 - 7x + 10) > 0$;
- $(x - 4)^2(x^2 - 7x + 10) \ge 0$.
Розв'язок вправи № 5.9
Коротке рішення
$x^2 - 7x + 10 = (x - 2)(x - 5)$
1) $(x - 4)^2(x - 2)(x - 5) < 0 \Rightarrow x \in (2; 4) \cup (4; 5)$
2) $(x - 4)^2(x - 2)(x - 5) \le 0 \Rightarrow x \in [2; 5]$
3) $(x - 4)^2(x - 2)(x - 5) > 0 \Rightarrow x \in (-\infty; 2) \cup (5; +\infty)$
4) $(x - 4)^2(x - 2)(x - 5) \ge 0 \Rightarrow x \in (-\infty; 2] \cup \{4\} \cup [5; +\infty)$
Детальне рішення
Ключ до розв’язання: При розв'язанні нерівностей методом інтервалів важливо враховувати множники в парних степенях. Вираз $(x-4)^2$ завжди невід'ємний, тому він не змінює знак нерівності при переході через точку $x=4$, але може впливати на включення або виключення цієї точки з множини розв'язків. Тема: Функції та їх властивості.
Розкладемо квадратний тричлен на множники: $$x^2 - 7x + 10 = (x - 2)(x - 5)$$ Критичні точки виразу: $2$, $4$ та $5$. Точка $4$ є коренем парної кратності (через квадрат), тому знак виразу при переході через неї не змінюється.
- 1) Вираз має бути строго меншим за нуль. На проміжку $(2; 5)$ вираз $(x-2)(x-5)$ від'ємний. Оскільки нерівність строга, точку $x=4$ (де вираз дорівнює нулю) треба виключити: $(2; 4) \cup (4; 5)$.
- 2) Нерівність нестрога, тому точки $2, 4, 5$ включаються. Весь проміжок $[2; 5]$ задовольняє умову.
- 3) Вираз додатний зовні коренів $2$ та $5$. Оскільки $x=4$ не входить у ці проміжки, відповідь: $(-\infty; 2) \cup (5; +\infty)$.
- 4) Додатні проміжки $(-\infty; 2]$ та $[5; +\infty)$, а також окрема точка $x=4$, яка перетворює ліву частину на нуль.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.