ГДЗ до вправи 5.19 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $\dfrac{2x - 6}{x^2 - 6x} - \dfrac{1}{x - 1} < 0 \Rightarrow \dfrac{(2x - 6)(x - 1) - (x^2 - 6x)}{x(x - 6)(x - 1)} < 0 \Rightarrow$

$\dfrac{x^2 - 2x + 6}{x(x - 1)(x - 6)} < 0$.

Оскільки $x^2 - 2x + 6 > 0$ при будь-яких $x$, маємо $x(x - 1)(x - 6) < 0$.

Відповідь: $(-\infty; 0) \cup (1; 6)$.

2) $\dfrac{2x + 3}{(x + 4)(x - 3)} - \dfrac{1}{2} < 0 \Rightarrow \dfrac{4x + 6 - (x^2 + x - 12)}{2(x + 4)(x - 3)} < 0 \Rightarrow $

$\dfrac{-(x^2 - 3x - 18)}{2(x + 4)(x - 3)} < 0$; $\dfrac{(x - 6)(x + 3)}{(x + 4)(x - 3)} > 0.$

Критичні точки: $-4; -3; 3; 6$.

Відповідь: $(-\infty; -4) \cup (-3; 3) \cup (6; +\infty)$.

1) Переносимо дріб у ліву частину та зводимо до спільного знаменника $x(x - 6)(x - 1)$. У чисельнику після розкриття дужок та зведення подібних доданків отримуємо квадратний тричлен $x^2 - 2x + 6$. Дискримінант цього тричлена $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 4 - 24 = -20$. Оскільки $D < 0$ і старший коефіцієнт додатний, чисельник завжди набуває додатних значень. Отже, знак нерівності залежить лише від знаменника: $x(x - 1)(x - 6) < 0$. Корені знаменника: $0; 1; 6$. Визначаємо знаки методом інтервалів.

2) Розкладемо знаменник лівої частини на множники: $x^2 + x - 12 = (x + 4)(x - 3)$. Перенесемо $1/2$ та зведемо до спільного знаменника $2(x + 4)(x - 3)$. Чисельник набуває вигляду $-x^2 + 3x + 18$. Помноживши нерівність на $-1$, змінюємо її знак на протилежний. Тепер у чисельнику $x^2 - 3x - 18 = (x - 6)(x + 3)$. Нерівність $\dfrac{(x - 6)(x + 3)}{(x + 4)(x - 3)} > 0$ розв’язуємо методом інтервалів для чотирьох точок.