ГДЗ до вправи 5.16 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $\dfrac{(x - 2)(2x + 1)}{(3 - x)^4 (5x - 1)} < 0$. Критичні точки: $-0,5; 0,2; 2; 3$.

Відповідь: $(-\infty; -0,5) \cup (0,2; 2)$.

2) $\dfrac{(x - 3)(5x + 2)(x + 3)}{(x - 1)(x + 4)^2} \ge 0$. Критичні точки: $-4; -3; -0,4; 1; 3$.

Відповідь: $(-\infty; -4) \cup (-4; -3] \cup [-0,4; 1) \cup [3; +\infty)$.

3) $\dfrac{x(x + 3)}{x - 2} \le 0$. Критичні точки: $-3; 0; 2$. Точка $x = \frac{1}{3}$ задовольняє умову $0 \le 0$.

Відповідь: $(-\infty; -3] \cup [0; 2)$.

4) $\dfrac{(x - 2)(4x + 3)}{(x - 3)(x + 1)^2} \ge 0$. Критичні точки: $-1; -0,75; 2; 3$.

Відповідь: $[-0,75; 2] \cup (3; +\infty)$.

1) Враховуємо парну степінь $(3-x)^4$ (знак не змінюється, точка $3$ виколота) та непарні степені. Після зведення знаків у дужках та зміни знака нерівності на протилежний, визначаємо інтервали за методом інтервалів.

2) Точка $-4$ є коренем знаменника парної кратності, тому при переході через неї знак не змінюється. Всі інші множники лінійні. Обираємо проміжки, де вираз додатний або дорівнює нулю.

3) Вираз $|3x - 1|$ завжди невід'ємний. Рівняння $|3x - 1| = 0$ дає $x = 1/3$. Для інших $x$ модуль не впливає на знак. Досліджуємо $\dfrac{x(x + 3)}{x - 2} \le 0$ та перевіряємо, чи входить $\frac{1}{3}$ у результат. Оскільки $\frac{1}{3} \in [0, 2)$, окремо її записувати не потрібно.

4) Змінюємо знаки в множниках $(2-x)$ та $(x-3)^3$, що дає дві зміни знака, тобто загальний знак нерівності змінюється на протилежний: $\ge 0$. Точка $-1$ відповідає парному степеню в знаменнику. Визначаємо проміжки знакосталості.