ГДЗ до вправи 5.17 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 5.17
Розв’яжіть нерівність:
- $\dfrac{(x - 1)(x - 2)^2}{(x - 3)^3} \le 0$;
- $\dfrac{(x - 1)^2 (x + 2)^3}{x - 5} \ge 0$;
- $\dfrac{x^2 (x^2 - 1)}{x - 4} > 0$.
Розв'язок вправи № 5.17
Коротке рішення
1) $\dfrac{(x - 1)(x - 2)^2}{(x - 3)^3} \le 0 \Rightarrow \begin{cases} \dfrac{x - 1}{x - 3} \le 0 \\ (x - 2)^2 = 0 \\ x \neq 3 \end{cases} \Rightarrow x \in [1; 3)$.
2) $\dfrac{(x - 1)^2 (x + 2)^3}{x - 5} \ge 0 \Rightarrow \begin{cases} \dfrac{x + 2}{x - 5} \ge 0 \\ (x - 1)^2 = 0 \\ x \neq 5 \end{cases} \Rightarrow$
$x \in (-\infty; -2] \cup \{1\} \cup (5; +\infty)$.
3) $\dfrac{x^2 (x - 1)(x + 1)}{x - 4} > 0 \Rightarrow \begin{cases} \dfrac{(x - 1)(x + 1)}{x - 4} > 0 \\ x \neq 0 \end{cases} \Rightarrow$
$x \in (-1; 0) \cup (0; 1) \cup (4; +\infty)$.
Детальне рішення
Ключ до розв’язання: Використовуємо метод інтервалів, враховуючи кратність коренів. Множники в парних степенях не змінюють знак виразу при переході через точку, але впливають на включення цієї точки до відповіді. Тема: Функції та їх властивості.
1) Критичні точки: $1$ (зміна знака), $2$ (парна степінь — знак не змінюється), $3$ (виколота, зміна знака). На інтервалі $(3; +\infty)$ вираз додатний. Знаки: $(-\infty; 1] \rightarrow (+)$, $[1; 2] \rightarrow (-)$, $[2; 3) \rightarrow (-)$. Точка $2$ входить у від’ємний проміжок. Відповідь: $[1; 3)$.
2) Критичні точки: $-2$ (зміна), $1$ (парна степінь), $5$ (виколота, зміна). Знак додатний зовні коренів $-2$ та $5$. Також додаємо точку $x = 1$, де вираз дорівнює нулю. Відповідь: $(-\infty; -2] \cup \{1\} \cup (5; +\infty)$.
3) Розкладемо різницю квадратів у чисельнику. Критичні точки: $-1, 0, 1, 4$. Точка $0$ має парну кратність. Через строгу нерівність усі точки виколоті. Аналізуючи проміжки, де вираз більший за нуль, отримуємо результат.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.