ГДЗ до вправи 5.18 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $\dfrac{1}{x-1} + \dfrac{1}{x+1} - \dfrac{3}{x} \ge 0 \Rightarrow \dfrac{x(x+1) + x(x-1) - 3(x^2-1)}{x(x-1)(x+1)} \ge 0 \Rightarrow \dfrac{3 - x^2}{x(x-1)(x+1)} \ge 0$.

Критичні точки: $-\sqrt{3}; -1; 0; 1; \sqrt{3}$.

Відповідь: $(-\infty; -\sqrt{3}] \cup (-1; 0) \cup (1; \sqrt{3}]$.

2) $\dfrac{12}{x^2 - 4} - \dfrac{7}{x^2 - 9} \le 0 \Rightarrow \dfrac{12(x^2 - 9) - 7(x^2 - 4)}{(x^2 - 4)(x^2 - 9)} \le 0 \Rightarrow \dfrac{5x^2 - 80}{(x^2 - 4)(x^2 - 9)} \le 0$.

$\dfrac{5(x - 4)(x + 4)}{(x - 2)(x + 2)(x - 3)(x + 3)} \le 0$. Критичні точки: $-4; -3; -2; 2; 3; 4$.

Відповідь: $[-4; -3) \cup (-2; 2) \cup (3; 4]$.

1) Спільний знаменник для дробів: $x(x - 1)(x + 1)$. Після зведення та спрощення чисельника отримуємо вираз $3 - x^2$. Розкладаємо його як $(\sqrt{3} - x)(\sqrt{3} + x)$. На числовій осі відмічаємо корені чисельника (зафарбовані) та знаменника (виколоті). Визначаємо знаки методом інтервалів.

2) Спільний знаменник: $(x^2 - 4)(x^2 - 9)$. Чисельник після спрощення: $12x^2 - 108 - 7x^2 + 28 = 5x^2 - 80$. Поділимо на 5: $x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$. Нерівність набуває вигляду: $$\dfrac{(x - 4)(x + 4)}{(x - 2)(x + 2)(x - 3)(x + 3)} \le 0$$ Усі шість критичних точок розбивають вісь на сім інтервалів. Враховуємо, що точки знаменника завжди виколоті.