ГДЗ до вправи 5.8 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 5.8
Розв’яжіть нерівність:
- $(x^4 + 1)(5 - 6x)(x - 2) < 0$;
- $(3x^2 - 5x - 2)(2x^2 + x + 1) < 0$.
Розв'язок вправи № 5.8
Коротке рішення
1) $(x^4 + 1)(5 - 6x)(x - 2) < 0$
Оскільки $x^4 + 1 \ge 1 > 0$, маємо:
$(5 - 6x)(x - 2) < 0$
$(6x - 5)(x - 2) > 0$
Нулі: $x = \frac{5}{6}$; $x = 2$.
Відповідь: $(-\infty; \frac{5}{6}) \cup (2; +\infty)$.
2) $(3x^2 - 5x - 2)(2x^2 + x + 1) < 0$
Для $2x^2 + x + 1$: $D = 1 - 8 = -7 < 0$, отже $2x^2 + x + 1 > 0$ для всіх $x \in \mathbb{R}$.
$3x^2 - 5x - 2 < 0$
Корені $3x^2 - 5x - 2 = 0$: $x_1 = 2, x_2 = -\frac{1}{3}$.
Відповідь: $(-\frac{1}{3}; 2)$.
Детальне рішення
Ключ до розв’язання: Спрощення нерівності відбувається за рахунок множників, які не впливають на її знак (квадратичні тричлени з від'ємним дискримінантом або парні степені зі зміщенням). Тема: Функції та їх властивості.
1) Множник $(x^4 + 1)$ завжди набуває значень не менших за одиницю, тому він не впливає на знак нерівності. Залишається розв'язати $(5 - 6x)(x - 2) < 0$. Помноживши першу дужку на $-1$ (змінюючи знак нерівності), маємо $(6x - 5)(x - 2) > 0$. Корені: $5/6$ та $2$. Оскільки знак ">", обираємо зовнішні проміжки.
2) Тричлен $2x^2 + x + 1$ має від'ємний дискримінант, тому його графік лежить вище осі абсцис. Значить, знак нерівності залежить тільки від першого тричлена $3x^2 - 5x - 2 < 0$. Його корені: $2$ та $-\frac{1}{3}$. Розв'язком є інтервал між коренями.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.