ГДЗ до вправи 5.4 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 5.4
Знайдіть множину розв’язків нерівності:
1) $\dfrac{x + 3}{x - 1} > 0$;
2) $\dfrac{x - 4}{x} \ge 0$;
3) $\dfrac{(x - 2)(x + 1)}{x - 4} < 0$;
4) $\dfrac{(x + 1,2)(x - 1,6)}{x - 1,4} \le 0$;
5) $\dfrac{(3x - 2)(4 - x)}{(x + 3)(x - 1)} > 0$;
6) $\dfrac{(x + 1)(3 - x)}{(3x - 2)(4 - 3x)} \ge 0$.
Розв'язок вправи № 5.4
Коротке рішення
1) $\frac{x + 3}{x - 1} > 0 \Rightarrow$ Нулі: $-3; 1$. Знаки: $(-\infty; -3) \cup (1; +\infty)$. Відповідь: $(-\infty; -3) \cup (1; +\infty)$.
2) $\frac{x - 4}{x} \ge 0 \Rightarrow$ Нулі: $4; 0$. Точка $0$ виколота. Знаки: $(-\infty; 0) \cup [4; +\infty)$. Відповідь: $(-\infty; 0) \cup [4; +\infty)$.
3) $\frac{(x - 2)(x + 1)}{x - 4} < 0 \Rightarrow$ Нулі: $2; -1; 4$. Знаки: $(-\infty; -1) \cup (2; 4)$. Відповідь: $(-\infty; -1) \cup (2; 4)$.
4) $\frac{(x + 1,2)(x - 1,6)}{x - 1,4} \le 0 \Rightarrow$ Нулі: $-1,2; 1,6; 1,4$. Точка $1,4$ виколота. Знаки: $(-\infty; -1,2] \cup (1,4; 1,6]$. Відповідь: $(-\infty; -1,2] \cup (1,4; 1,6]$.
5) $\frac{(3x - 2)(4 - x)}{(x + 3)(x - 1)} > 0 \Rightarrow \frac{(3x - 2)(x - 4)}{(x + 3)(x - 1)} < 0 \Rightarrow$ Нулі: $\frac{2}{3}; 4; -3; 1$. Знаки: $(-3; \frac{2}{3}) \cup (1; 4)$. Відповідь: $(-3; \frac{2}{3}) \cup (1; 4)$.
6) $\frac{(x + 1)(3 - x)}{(3x - 2)(4 - 3x)} \ge 0 \Rightarrow \frac{(x + 1)(x - 3)}{(3x - 2)(3x - 4)} \ge 0 \Rightarrow$ Нулі: $-1; 3; \frac{2}{3}; \frac{4}{3}$. Точки $\frac{2}{3}$ та $\frac{4}{3}$ виколоті. Знаки: $(-\infty; -1] \cup (\frac{2}{3}; \frac{4}{3}) \cup [3; +\infty)$. Відповідь: $(-\infty; -1] \cup (\frac{2}{3}; \frac{4}{3}) \cup [3; +\infty)$.
Детальне рішення
Ключ до розв’язання: Перед застосуванням методу інтервалів бажано звести всі множники до вигляду $(x - a)$. Якщо перед $x$ стоїть від'ємний коефіцієнт, множенням на $-1$ робимо його додатним, не забуваючи змінювати знак нерівності. Тема: Функції та їх властивості.
1-4) Використовуємо стандартну схему: нулі чисельника позначаємо зафарбованими точками (якщо нерівність нестрога), нулі знаменника — завжди виколотими. Для п'ятого та шостого пунктів потрібні додаткові перетворення.
5) У чисельнику маємо $(4 - x)$. Помножимо на $-1$: вираз стає $(x - 4)$, а знак нерівності змінюється з ">" на "<". Критичні точки: $-3; \frac{2}{3}; 1; 4$. Розставляємо знаки справа наліво: $+ , - , + , - , +$. Нас цікавлять інтервали з "мінусом".
6) Тут маємо два "незручні" множники: $(3 - x)$ та $(4 - 3x)$. Помножимо обидва на $-1$. Оскільки множення проводиться двічі (парна кількість разів), загальний знак нерівності "$\ge$" не змінюється. Отримуємо нерівність: $\frac{(x + 1)(x - 3)}{(3x - 2)(3x - 4)} \ge 0$. Критичні точки: $-1; \frac{2}{3}; \frac{4}{3}; 3$. Знаки чергуються стандартно, починаючи з "+" справа. Обираємо проміжки "$\ge 0$".
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.