ГДЗ до вправи 5.5 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 5.5
Розв’яжіть нерівність:
- $\dfrac{x^2 - 4}{x^2 - 9} > 0$;
- $\dfrac{x^2 - 3x}{x^2 - 8x + 7} \le 0$;
- $\dfrac{2x^2 - 5x + 2}{x^2 - 3x - 4} \ge 0$.
Розв'язок вправи № 5.5
Коротке рішення
1) $\frac{(x-2)(x+2)}{(x-3)(x+3)} > 0$
Критичні точки: $-3; -2; 2; 3$.
Відповідь: $(-\infty; -3) \cup (-2; 2) \cup (3; +\infty)$.
2) $\frac{x(x-3)}{(x-1)(x-7)} \le 0$
Критичні точки: $0; 1; 3; 7$ (точки $1$ та $7$ виколоті).
Відповідь: $[0; 1) \cup [3; 7)$.
3) $\frac{2(x-2)(x-0,5)}{(x-4)(x+1)} \ge 0$
Критичні точки: $-1; 0,5; 2; 4$ (точки $-1$ та $4$ виколоті).
Відповідь: $(-\infty; -1) \cup [0,5; 2] \cup (4; +\infty)$.
Детальне рішення
Ключ до розв’язання: Для розв'язання цих нерівностей спочатку розкладаємо чисельник та знаменник на лінійні множники, знаходимо корені та застосовуємо метод інтервалів. Тема: Функції та їх властивості.
1) Розкладемо на множники за формулою різниці квадратів: $\frac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 3)(x + 3)} > 0$. Критичні точки на осі: $-3, -2, 2, 3$. Всі вони виколоті. Знаки на інтервалах чергуються справа наліво: $+ , - , + , - , +$. Нам потрібні проміжки зі знаком "+".
2) Чисельник $x^2 - 3x = x(x-3)$. Знаменник $x^2 - 8x + 7 = (x-1)(x-7)$. Маємо $\frac{x(x-3)}{(x-1)(x-7)} \le 0$. Точки $1$ та $7$ — виколоті (знаменник), $0$ та $3$ — зафарбовані. Визначаємо знаки методом інтервалів та обираємо проміжки, де вираз від'ємний або нуль.
3) Корені чисельника $2x^2 - 5x + 2$ дорівнюють $2$ та $0,5$. Корені знаменника $x^2 - 3x - 4$ дорівнюють $4$ та $-1$. Отримуємо нерівність: $\frac{2(x-2)(x-0,5)}{(x-4)(x+1)} \ge 0$. Розставляємо точки на осі у порядку зростання: $-1$ (викол.), $0,5$, $2$, $4$ (викол.). Обираємо проміжки "$\ge 0$".
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.