ГДЗ до вправи 5.7 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 5.7
Розв’яжіть нерівність:
- $(2x + 1)(x - 3)(x^2 + 4) < 0$;
- $(2 - x)(3x + 5)(x^2 - x + 1) > 0$.
Розв'язок вправи № 5.7
Коротке рішення
1) $(2x + 1)(x - 3)(x^2 + 4) < 0$
Оскільки $x^2 + 4 > 0$ для будь-якого $x \in \mathbb{R}$, маємо:
$(2x + 1)(x - 3) < 0$
Нулі: $x = -0,5$; $x = 3$.
Відповідь: $(-0,5; 3)$.
2) $(2 - x)(3x + 5)(x^2 - x + 1) > 0$
Для виразу $x^2 - x + 1$: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$, отже $x^2 - x + 1 > 0$ для будь-якого $x \in \mathbb{R}$. Маємо:
$(2 - x)(3x + 5) > 0$
$(x - 2)(3x + 5) < 0$
Нулі: $x = 2$; $x = -1\frac{2}{3}$.
Відповідь: $(-1\frac{2}{3}; 2)$.
Детальне рішення
Ключ до розв’язання: При розв'язанні нерівностей методом інтервалів важливо виділити множники, які завжди набувають додатних значень. Це дозволяє спростити нерівність, не змінюючи її знака. Тема: Функції та їх властивості.
1) В нерівності $(2x + 1)(x - 3)(x^2 + 4) < 0$ вираз $(x^2 + 4)$ завжди більший за нуль, оскільки квадрат числа не може бути меншим за нуль. Поділивши обидві частини на додатне число $(x^2 + 4)$, отримаємо рівносильну нерівність: $(2x + 1)(x - 3) < 0$. Корені лівої частини: $x = -0,5$ та $x = 3$. Використовуючи метод інтервалів, отримуємо проміжок між коренями.
2) Для функції $f(x) = x^2 - x + 1$ дискримінант від'ємний, а коефіцієнт при $x^2$ додатний, тому цей множник завжди додатний. Нерівність зводиться до $(2 - x)(3x + 5) > 0$. Помноживши на $-1$, маємо $(x - 2)(3x + 5) < 0$. Корені: $2$ та $-\frac{5}{3}$. Розв'язком є інтервал між ними.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.