ГДЗ до вправи 7.5 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 7.5
Виведіть формулу для обчислення суми:
$$\dfrac{1}{1 \cdot 3} + \dfrac{1}{3 \cdot 5} + \dfrac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \dfrac{1}{(2n - 1)(2n + 1)}, \text{ де } n \in \mathbb{N}.$$
Розв'язок вправи № 7.5
Коротке рішення
$\dfrac{1}{(2k - 1)(2k + 1)} = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{2k - 1} - \dfrac{1}{2k + 1} \right)$.
$$S_n = \dfrac{1}{2} \left( \left( 1 - \dfrac{1}{3} \right) + \left( \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5} \right) + \dots + \left( \dfrac{1}{2n - 1} - \dfrac{1}{2n + 1} \right) \right)$$
$$S_n = \dfrac{1}{2} \left( 1 - \dfrac{1}{2n + 1} \right) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2n + 1 - 1}{2n + 1} = \dfrac{n}{2n + 1}$$
Відповідь: $S_n = \dfrac{n}{2n + 1}$.
Детальне рішення
Ключ до розв’язання: Кожен доданок суми можна представити як різницю двох дробів. При додаванні таких різниць всі внутрішні члени взаємно знищуються — цей метод називається методом телескопічного сумування. Тема: Метод математичної індукції.
Розглянемо загальний вигляд доданка: $a_k = \dfrac{1}{(2k - 1)(2k + 1)}$.
Використаємо тотожність: $\dfrac{1}{n(n+d)} = \dfrac{1}{d} \left( \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+d} \right)$. У нашому випадку різниця між множниками знаменника $d = 2$.
Отже: $\dfrac{1}{(2k - 1)(2k + 1)} = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{2k - 1} - \dfrac{1}{2k + 1} \right)$.
Розпишемо нашу суму через ці різниці:
$$S_n = \dfrac{1}{2} \left[ \left( \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{3} \right) + \left( \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5} \right) + \left( \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{7} \right) + \dots + \left( \dfrac{1}{2n - 1} - \dfrac{1}{2n + 1} \right) \right]$$
Помітимо, що $-\dfrac{1}{3}$ і $+\dfrac{1}{3}$, $-\dfrac{1}{5}$ і $+\dfrac{1}{5}$ і так далі знищуються. Залишається лише перший член першої дужки та останній член останньої дужки:
$$S_n = \dfrac{1}{2} \left( 1 - \dfrac{1}{2n + 1} \right) = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{2n + 1 - 1}{2n + 1} \right) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2n}{2n + 1} = \dfrac{n}{2n + 1}$$
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.