ГДЗ до вправи 7.2 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 7.2
Доведіть, що значення многочлена $f(n) = n^2 + n + 17$ є простим числом при $n = 1, n = 2, n = 3, n = 4, n = 5$. Чи можна на цій підставі зробити висновок, що $f(n)$ є простим числом при будь-якому натуральному значенні $n$?
Розв'язок вправи № 7.2
Коротке рішення
Обчислимо значення $f(n) = n^2 + n + 17$:
- $n = 1 \Rightarrow f(1) = 1 + 1 + 17 = 19$ (просте);
- $n = 2 \Rightarrow f(2) = 4 + 2 + 17 = 23$ (просте);
- $n = 3 \Rightarrow f(3) = 9 + 3 + 17 = 29$ (просте);
- $n = 4 \Rightarrow f(4) = 16 + 4 + 17 = 37$ (просте);
- $n = 5 \Rightarrow f(5) = 25 + 5 + 17 = 47$ (просте).
Знайдемо контрприклад. Нехай $n = 16$:
$f(16) = 16^2 + 16 + 17 = 16(16 + 1) + 17 = 16 \cdot 17 + 17 =$
$= 17(16 + 1) = 17 \cdot 17 = 289$
Число $289$ є складеним. Також при $n = 17$ маємо $f(17) = 17^2 + 17 + 17 = 17(17 + 1 + 1) = 17 \cdot 19 = 323$ (складене).
Відповідь: Ні, такий висновок зробити не можна.
Детальне рішення
Ключ до розв’язання: Навіть якщо твердження виконується для великої кількості перших натуральних чисел, це не гарантує його істинності для всіх чисел. Для повноцінного доведення використовується метод математичної індукції. Тема: Метод математичної індукції.
У першій частині завдання ми переконалися, що для значень $n$ від $1$ до $5$ значення многочлена справді є простими числами (тими, що діляться лише на $1$ та на самих себе).
Проте неповна індукція часто підводить. Щоб довести, що формула $n^2 + n + 17$ не завжди дає просте число, нам потрібно знайти таке $n$, при якому результат буде складеним числом.
Розглянемо випадок, коли $n = 16$. Підставимо його у формулу: $$f(16) = 16^2 + 16 + 17 = 256 + 16 + 17 = 289$$ Число $289$ дорівнює $17 \cdot 17$ (це квадрат числа 17). Оскільки воно має дільник, відмінний від одиниці та самого себе, воно є складеним.
Ще простіше перевірити $n = 17$: $$f(17) = 17^2 + 17 + 17 = 17(17 + 1 + 1) = 17 \cdot 19$$ Цей добуток очевидно є складеним числом.
Отже, хоча для перших значень твердження виглядає правильним, воно хибне для всієї множини натуральних чисел. Висновок робити не можна.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.