ГДЗ до вправи 7.9 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 7.9
Доведіть, що для будь-якого натурального $n$:
- $(3^{2n+1} + 2^{n+2}) \vdots 7$;
- $(6^{2n} + 19^n - 2^{n+1}) \vdots 17$.
Розв'язок вправи № 7.9
Коротке рішення
1) $n=1: 3^3 + 2^3 = 27 + 8 = 35 = 7 \cdot 5$.
Припустимо $3^{2k+1} + 2^{k+2} = 7m$.
$n=k+1: 3^{2k+3} + 2^{k+3} = 9 \cdot 3^{2k+1} + 2 \cdot 2^{k+2} =$ $= 7 \cdot 3^{2k+1} + 2(3^{2k+1} + 2^{k+2}) =$ $= 7 \cdot 3^{2k+1} + 2 \cdot 7m = 7(3^{2k+1} + 2m)$.
Твердження істинне.
2) $n=1: 6^2 + 19^1 - 2^2 = 36 + 19 - 4 = 51 = 17 \cdot 3$.
Припустимо $36^k + 19^k - 2^{k+1} = 17m$.
$n=k+1: 36 \cdot 36^k + 19 \cdot 19^k - 2 \cdot 2^{k+1} =$ $= 36(36^k + 19^k - 2^{k+1}) - 17 \cdot 19^k + 34 \cdot 2^{k+1} =$ $= 36 \cdot 17m - 17 \cdot 19^k + 17 \cdot 2 \cdot 2^{k+1} = 17(36m - 19^k + 2^{k+2})$.
Твердження істинне.
Детальне рішення
Ключ до розв’язання: Для доведення подільності використовується метод математичної індукції. Спочатку перевіряємо твердження для $n=1$, потім припускаємо його істинність для $n=k$ і на основі цього доводимо істинність для $n=k+1$. Тема: Метод математичної індукції.
Завдання 1: Доведемо, що $(3^{2n+1} + 2^{n+2})$ ділиться на $7$.
- База індукції. При $n=1$: $3^{2\cdot 1+1} + 2^{1+2} = 3^3 + 2^3 = 27 + 8 = 35$. Оскільки $35$ ділиться на $7$, база доведена.
- Припущення індукції. Нехай при $n=k$ вираз $3^{2k+1} + 2^{k+2}$ ділиться на $7$, тобто $3^{2k+1} + 2^{k+2} = 7m$, де $m \in \mathbb{N}$.
- Крок індукції. Розглянемо вираз для $n=k+1$: $$3^{2(k+1)+1} + 2^{(k+1)+2} = 3^{2k+3} + 2^{k+3} = 3^2 \cdot 3^{2k+1} + 2^1 \cdot 2^{k+2} = 9 \cdot 3^{2k+1} + 2 \cdot 2^{k+2}$$ Представимо $9$ як $7 + 2$: $$(7 + 2) \cdot 3^{2k+1} + 2 \cdot 2^{k+2} = 7 \cdot 3^{2k+1} + 2 \cdot 3^{2k+1} + 2 \cdot 2^{k+2} = 7 \cdot 3^{2k+1} + 2(3^{2k+1} + 2^{k+2})$$ Згідно з припущенням, вираз у дужках ділиться на $7$. Обидва доданки діляться на $7$, отже, і весь вираз для $n=k+1$ ділиться на $7$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.