ГДЗ до вправи 7.6 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

$\dfrac{1}{k(k + 1)} = \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k + 1}$.

$$S_n = \left( 1 - \dfrac{1}{2} \right) + \left( \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} \right) + \dots + \left( \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n + 1} \right)$$

$$S_n = 1 - \dfrac{1}{n + 1} = \dfrac{n + 1 - 1}{n + 1} = \dfrac{n}{n + 1}$$

Відповідь: $S_n = \dfrac{n}{n + 1}$.

1) Запишемо загальний член суми: $a_k = \dfrac{1}{k(k+1)}$.

2) Скористаємося розкладом на елементарні дроби: $\dfrac{1}{k(k+1)} = \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+1}$.

3) Тепер підставимо цей вираз у початкову суму для всіх $k$ від $1$ до $n$:

• Для $k=1$: $\dfrac{1}{1 \cdot 2} = 1 - \dfrac{1}{2}$
• Для $k=2$: $\dfrac{1}{2 \cdot 3} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}$
• ...
• Для $k=n$: $\dfrac{1}{n(n+1)} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1}$

4) Додамо всі ці вирази:

$$S_n = \left( 1 - \dfrac{1}{2} \right) + \left( \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} \right) + \left( \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} \right) + \dots + \left( \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1} \right)$$

5) При розкритті дужок ми побачимо, що всі доданки, крім першого ($1$) та останнього ($-\dfrac{1}{n+1}$), скорочуються. Отримуємо кінцевий результат:

$$S_n = 1 - \dfrac{1}{n+1} = \dfrac{n+1-1}{n+1} = \dfrac{n}{n+1}$$