ГДЗ до вправи 7.6 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 7.6
Виведіть формулу для обчислення суми:
$$\dfrac{1}{1 \cdot 2} + \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \dfrac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \dfrac{1}{n(n + 1)}, \text{ де } n \in \mathbb{N}.$$
Розв'язок вправи № 7.6
Коротке рішення
$\dfrac{1}{k(k + 1)} = \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k + 1}$.
$$S_n = \left( 1 - \dfrac{1}{2} \right) + \left( \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} \right) + \dots + \left( \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n + 1} \right)$$
$$S_n = 1 - \dfrac{1}{n + 1} = \dfrac{n + 1 - 1}{n + 1} = \dfrac{n}{n + 1}$$
Відповідь: $S_n = \dfrac{n}{n + 1}$.
Детальне рішення
Ключ до розв’язання: Ця задача є класичним прикладом використання методу різниць. Кожен дріб виду $\dfrac{1}{k(k+1)}$ можна розкласти на два простіші дроби. Тема: Метод математичної індукції.
1) Запишемо загальний член суми: $a_k = \dfrac{1}{k(k+1)}$.
2) Скористаємося розкладом на елементарні дроби: $\dfrac{1}{k(k+1)} = \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+1}$.
3) Тепер підставимо цей вираз у початкову суму для всіх $k$ від $1$ до $n$:
- Для $k=1$: $\dfrac{1}{1 \cdot 2} = 1 - \dfrac{1}{2}$
- Для $k=2$: $\dfrac{1}{2 \cdot 3} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}$
- ...
- Для $k=n$: $\dfrac{1}{n(n+1)} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1}$
4) Додамо всі ці вирази:
$$S_n = \left( 1 - \dfrac{1}{2} \right) + \left( \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} \right) + \left( \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} \right) + \dots + \left( \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1} \right)$$
5) При розкритті дужок ми побачимо, що всі доданки, крім першого ($1$) та останнього ($-\dfrac{1}{n+1}$), скорочуються. Отримуємо кінцевий результат:
$$S_n = 1 - \dfrac{1}{n+1} = \dfrac{n+1-1}{n+1} = \dfrac{n}{n+1}$$
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.