ГДЗ до вправи 7.3 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 7.3
Доведіть, що при будь-якому натуральному $n$ виконується рівність:
- $1 + 2 + 3 + \dots + n = \dfrac{n(n + 1)}{2}$;
- $1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 = \left(\dfrac{n(n + 1)}{2}\right)^2$;
- $1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$;
- $1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2n - 1)^2 = \dfrac{n(4n^2 - 1)}{3}$.
Розв'язок вправи № 7.3
Коротке рішення
1) $n=1: 1 = \dfrac{1 \cdot 2}{2} = 1$. Припустимо $S_k = \dfrac{k(k+1)}{2}$.
$n=k+1: S_{k+1} = \dfrac{k(k+1)}{2} + (k+1) = (k+1)(\dfrac{k}{2} + 1) =$
$ = \dfrac{(k+1)(k+2)}{2}$
2) $n=1: 1^3 = (\dfrac{1 \cdot 2}{2})^2 = 1$. Припустимо $S_k = \dfrac{k^2(k+1)^2}{4}$.
$n=k+1: S_{k+1} = \dfrac{k^2(k+1)^2}{4} + (k+1)^3 = (k+1)^2(\dfrac{k^2 + 4k + 4}{4}) =$
$= \dfrac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$.
3) $n=1: 1 = \dfrac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6} = 1$. Припустимо $S_k = \dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}$.
$n=k+1: S_{k+1} = \dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2 =$
$ = \dfrac{k+1}{6}(2k^2 + k + 6k + 6) = \dfrac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$.
4) $n=1: 1^2 = \dfrac{1(4 - 1)}{3} = 1$. Припустимо $S_k = \dfrac{k(2k-1)(2k+1)}{3}$.
$n=k+1: S_{k+1} = \dfrac{k(2k-1)(2k+1)}{3} + (2k+1)^2 =$
$ = \dfrac{2k+1}{3}(2k^2 - k + 6k + 3) = \dfrac{(k+1)(2k+1)(2k+3)}{3} =$
$ = \dfrac{(k+1)(4(k+1)^2 - 1)}{3}$.
Детальне рішення
Ключ до розв’язання: Для доведення рівностей використовуємо метод математичної індукції. Він складається з трьох етапів: перевірка для $n=1$ (база), припущення правильності для $n=k$ та доведення для $n=k+1$ (крок індукції). Тема: Метод математичної індукції.
Завдання 3: Доведемо формулу суми квадратів перших $n$ чисел.
- База індукції. При $n=1$ рівність набуває вигляду $1^2 = \dfrac{1 \cdot (1+1) \cdot (2 \cdot 1 + 1)}{6} = \dfrac{2 \cdot 3}{6} = 1$. Рівність істинна.
- Припущення індукції. Припустимо, що формула правильна для $n=k$: $$1^2 + 2^2 + \dots + k^2 = \dfrac{k(k + 1)(2k + 1)}{6}$$
- Крок індукції. Доведемо справедливість для $n=k+1$. Додамо до обох частин $(k+1)^2$: $$S_{k+1} = \dfrac{k(k + 1)(2k + 1)}{6} + (k + 1)^2 = (k + 1) \left( \dfrac{k(2k + 1)}{6} + (k + 1) \right) =$$ $$= (k + 1) \left( \dfrac{2k^2 + k + 6k + 6}{6} \right) = \dfrac{(k + 1)(2k^2 + 7k + 6)}{6}$$ Розклавши квадратний тричлен $2k^2 + 7k + 6$ на множники як $(k+2)(2k+3)$, отримаємо: $$S_{k+1} = \dfrac{(k + 1)(k + 2)(2(k + 1) + 1)}{6}$$ Ми отримали ту саму формулу, де замість $n$ стоїть $k+1$. Отже, твердження доведено для будь-якого $n \in \mathbb{N}$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.