ГДЗ до вправи 7.7 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) База ($n = 3$): $2^3 > 2 \cdot 3 + 1 \Rightarrow 8 > 7$ (істинно).

2) Припущення ($n = k$): $2^k > 2k + 1$.

3) Крок ($n = k + 1$): $2^{k+1} = 2 \cdot 2^k > 2(2k + 1) = 4k + 2$.

Порівняємо $4k + 2$ та $2(k + 1) + 1 = 2k + 3$:

$4k + 2 - (2k + 3) = 2k - 1$. Оскільки $k \ge 3$, то $2k - 1 > 0$, отже $4k + 2 > 2k + 3$.

Отже, $2^{k+1} > 2k + 3$. Доведено.

1. База індукції. Оскільки за умовою $n \ge 3$, перевіримо нерівність для $n = 3$.
   Ліва частина: $2^3 = 8$. Права частина: $2 \cdot 3 + 1 = 7$.
   $8 > 7$ — нерівність виконується.
2. Припущення індукції. Нехай нерівність є правильною для деякого натурального $k \ge 3$:
   $$2^k > 2k + 1$$
3. Крок індукції. Доведемо, що нерівність буде правильною і для $n = k + 1$, тобто:
   $$2^{k+1} > 2(k + 1) + 1 \Rightarrow 2^{k+1} > 2k + 3$$
   Помножимо обидві частини нашого припущення на $2$:
   $$2 \cdot 2^k > 2(2k + 1) \Rightarrow 2^{k+1} > 4k + 2$$
   Нам потрібно показати, що вираз $4k + 2$ більший за вираз $2k + 3$ при $k \ge 3$. Розглянемо їхню різницю:
   $$(4k + 2) - (2k + 3) = 2k - 1$$
   Оскільки ми розглядаємо $k \ge 3$, то вираз $2k - 1$ завжди буде більшим за нуль (мінімально $2 \cdot 3 - 1 = 5$). Це означає, що $4k + 2 > 2k + 3$.
   Таким чином, ми отримали ланцюжок: $2^{k+1} > 4k + 2 > 2k + 3$, що і доводить крок індукції.

Згідно з принципом математичної індукції, нерівність доведена для всіх $n \ge 3$.