ГДЗ до вправи 7.4 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 7.4
Доведіть, що при будь-якому натуральному $n$ виконується рівність:
- $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + n(n + 1) = \dfrac{n(n + 1)(n + 2)}{3}$;
- $1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 10 + \dots + n(3n + 1) = n(n + 1)^2$;
- $1^3 + 3^3 + 5^3 + \dots + (2n - 1)^3 = n^2(2n^2 - 1)$.
Розв'язок вправи № 7.4
Коротке рішення
1) $n=1: 1 \cdot 2 = \dfrac{1 \cdot 2 \cdot 3}{3} = 2$.
$n=k+1: S_{k+1} = \dfrac{k(k+1)(k+2)}{3} + (k+1)(k+2) =$ $= (k+1)(k+2)(\dfrac{k}{3} + 1) = \dfrac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$.
2) $n=1: 1 \cdot 4 = 1 \cdot 2^2 = 4$.
$n=k+1: S_{k+1} = k(k+1)^2 + (k+1)(3k+4) =$ $= (k+1)(k^2+k+3k+4) = (k+1)(k+2)^2$.
3) $n=1: 1^3 = 1^2(2 \cdot 1^2 - 1) = 1$.
$n=k+1: S_{k+1} = k^2(2k^2-1) + (2k+1)^3 =$ $= 2k^4-k^2+8k^3+12k^2+6k+1 = 2k^4+8k^3+11k^2+6k+1$.
Перевірка: $(k+1)^2(2(k+1)^2-1) = (k^2+2k+1)(2k^2+4k+1) =$ $= 2k^4+8k^3+11k^2+6k+1$.
Детальне рішення
Ключ до розв’язання: Суть кроку індукції полягає у перетворенні виразу $S_k + a_{k+1}$ так, щоб у результаті отримати формулу для суми $n$ членів, де замість $n$ підставлено $k+1$. Тема: Метод математичної індукції.
Завдання 1: Доведемо рівність для суми добутків сусідніх чисел.
- База. При $n=1$ маємо $1 \cdot 2 = 2$. Права частина: $\dfrac{1 \cdot 2 \cdot 3}{3} = 2$. База доведена.
- Припущення. Нехай рівність вірна для $n=k$: $S_k = \dfrac{k(k + 1)(k + 2)}{3}$.
- Крок. Для $n=k+1$ маємо $S_{k+1} = S_k + (k + 1)(k + 2)$. $$S_{k+1} = \dfrac{k(k + 1)(k + 2)}{3} + (k + 1)(k + 2)$$ Винесемо спільний множник $(k + 1)(k + 2)$ за дужки: $$S_{k+1} = (k + 1)(k + 2) \left( \dfrac{k}{3} + 1 \right) = (k + 1)(k + 2) \cdot \dfrac{k + 3}{3}$$ Отже, $S_{k+1} = \dfrac{(k + 1)((k + 1) + 1)((k + 1) + 2)}{3}$.
Завдання 2: Виконуємо аналогічні дії. При доведенні кроку індукції отримаємо вираз $(k+1)(k^2+4k+4)$, який за формулою квадрата суми перетворюється на $(k+1)(k+2)^2$. Це і є права частина формули для $n=k+1$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.