Розв'язання вправи № 43 (Повторення розділу 1) - ГДЗ Алгебра 8 клас (Істер)

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

Умова

Подайте вираз у вигляді дробу:

1) $(-\frac{25x^2y^3}{9t})^2 \cdot (\frac{3t^4}{5xy^2})^3$ ; 2) $\frac{(a-b)^3}{a+b} \cdot \frac{a^2+2ab+b^2}{a^2-2ab+b^2}$ .

Короткий розв'язок

1) $\frac{625x^4y^6}{81t^2} \cdot \frac{27t^{12}}{125x^3y^6} = \frac{5xt^{10}}{3}$

2) $\frac{(a-b)^3}{a+b} \cdot \frac{(a+b)^2}{(a-b)^2} = (a-b)(a+b)$

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Спочатку необхідно виконати піднесення дробів до степеня, пам'ятаючи про властивості степенів. Потім виконати множення отриманих дробів, попередньо розклавши на множники чисельники та знаменники, де це необхідно, і скоротити спільні множники.

1) $(-\frac{25x^2y^3}{9t})^2 \cdot (\frac{3t^4}{5xy^2})^3$

Спочатку піднесемо до степеня кожен дріб окремо. При піднесенні до квадрата знак "мінус" зникає.

(\frac{25^2(x^2)^2(y^3)^2}{9^2t^2}) \cdot (\frac{3^3(t^4)^3}{5^3x^3(y^2)^3}) = \frac{625x^4y^6}{81t^2} \cdot \frac{27t^{12}}{125x^3y^6}

Тепер перемножимо дроби і скоротимо коефіцієнти та змінні:

\frac{\cancel{625}^5 x^{\cancel{4}} \cancel{y^6} \cdot \cancel{27}^1 t^{\cancel{12}^{10}}}{\cancel{81}_3 t^{\cancel{2}} \cdot \cancel{125}_1 x^{\cancel{3}} \cancel{y^6}} = \frac{5xt^{10}}{3}

2) $\frac{(a-b)^3}{a+b} \cdot \frac{a^2+2ab+b^2}{a^2-2ab+b^2}$

Розкладемо чисельник і знаменник другого дробу за формулами квадрата суми та квадрата різниці:

\frac{(a-b)^3}{a+b} \cdot \frac{(a+b)^2}{(a-b)^2}

Запишемо під спільною рискою дробу і скоротимо степені:

\frac{(a-b)^3(a+b)^2}{(a+b)(a-b)^2} = (a-b)^{3-2}(a+b)^{2-1} = (a-b)(a+b)

Результат можна залишити у такому вигляді або записати як різницю квадратів: $a^2-b^2$ .