Розв'язання вправи № 49 (Повторення розділу 1) - ГДЗ Алгебра 8 клас (Істер)
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер (2025).
Умова
Виконайте дію:
1) $ \frac{ax-xy}{a} : \frac{a^2-ay}{x} $; 2) $ \frac{a^2-b^2}{5a} : \frac{3a+3b}{10a^2} $;
3) $ \frac{x^2-36}{a-2b} : \frac{x^2+12x+36}{2b-a} $; 4) $ \frac{3a-a^2}{a^2-4a+4} : \frac{3-a}{4-2a} $.
Короткий розв'язок
1) $ \frac{x(a-y)}{a} \cdot \frac{x}{a(a-y)} = \frac{x^2}{a^2} $
2) $ \frac{(a-b)(a+b)}{5a} \cdot \frac{10a^2}{3(a+b)} = \frac{2a(a-b)}{3} $
3) $ \frac{(x-6)(x+6)}{a-2b} \cdot \frac{-(a-2b)}{(x+6)^2} = -\frac{x-6}{x+6} $
4) $ \frac{a(3-a)}{(a-2)^2} \cdot \frac{2(2-a)}{3-a} = \frac{-2a(a-2)}{(a-2)^2} = -\frac{2a}{a-2} $ (Примітка: в оригіналі помилка, відповідь має бути $ \frac{2a}{a-2} $)
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Для виконання ділення дробів необхідно замінити його на множення на обернений дріб. Перед множенням чисельники та знаменники слід максимально розкласти на множники для подальшого скорочення. Для цього застосовуються методи винесення спільного множника та формули скороченого множення.
1) $ \frac{ax-xy}{a} : \frac{a^2-ay}{x} $
Розкладаємо чисельники на множники і замінюємо ділення множенням:
Скорочуємо на $(a-y)$:
2) $ \frac{a^2-b^2}{5a} : \frac{3a+3b}{10a^2} $
Розкладаємо на множники, перевертаємо дільник і множимо:
Скорочуємо на $5a$ та $(a+b)$:
3) $ \frac{x^2-36}{a-2b} : \frac{x^2+12x+36}{2b-a} $
Розкладаємо на множники. У знаменнику дільника виносимо -1, щоб отримати $-(a-2b)$:
Скорочуємо на $(a-2b)$ та $(x+6)$:
4) $ \frac{3a-a^2}{a^2-4a+4} : \frac{3-a}{4-2a} $
Розкладаємо всі частини на множники:
Замінюємо $(2-a)$ на $-(a-2)$, щоб можна було скоротити:
Скорочуємо на $(3-a)$ та $(a-2)$:
Примітка: в умові задачі або відповідях може бути помилка, оскільки виходить відповідь $ -\frac{2a}{a-2} $, а не $ \frac{2a}{a-2} $. Проте, якщо припустити, що в знаменнику дільника було $2a-4$, то відповідь буде $ \frac{2a}{a-2} $. Наш розв'язок відповідає наданій умові.
