Розв'язання вправи № 40 (Повторення розділу 1) - ГДЗ Алгебра 8 клас (Істер)

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Спростіть вираз:

1) $ \frac{x^2-3x}{7} \cdot \frac{21}{x^2-9} $; 2) $ -\frac{3x-y}{6x+6} \cdot \frac{8x+8}{y-3x} $;

3) $ \frac{a^2-2a+1}{15m^2} \cdot \frac{5m}{a^2-1} $; 4) $ \frac{c^2+2c}{12ab} \cdot \frac{20a^2b}{c^2+4c+4} $.

Короткий розв'язок

1) $ \frac{x(x-3)}{7} \cdot \frac{21}{(x-3)(x+3)} = \frac{3x}{x+3} $

2) $ \frac{-(3x-y)}{6(x+1)} \cdot \frac{8(x+1)}{-(3x-y)} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} $

3) $ \frac{(a-1)^2}{15m^2} \cdot \frac{5m}{(a-1)(a+1)} = \frac{a-1}{3m(a+1)} $

4) $ \frac{c(c+2)}{12ab} \cdot \frac{20a^2b}{(c+2)^2} = \frac{5ac}{3(c+2)} $

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Для спрощення цих виразів необхідно розкласти чисельники та знаменники на множники, використовуючи винесення спільного множника та формули скороченого множення. Після цього можна скорочувати спільні множники.

1) $ \frac{x^2-3x}{7} \cdot \frac{21}{x^2-9} $

Розкладемо на множники чисельник першого дробу та знаменник другого:

$$ \frac{x(x-3)}{7} \cdot \frac{21}{(x-3)(x+3)} $$

Перемножимо дроби і скоротимо спільні множники:

$$ \frac{x \cdot \cancel{(x-3)} \cdot \cancel{21}^3}{\cancel{7}_1 \cdot \cancel{(x-3)} \cdot (x+3)} = \frac{3x}{x+3} $$

2) $ -\frac{3x-y}{6x+6} \cdot \frac{8x+8}{y-3x} $

Змінимо знак у знаменнику другого дробу: $y-3x = -(3x-y)$. Знак "мінус" перед дробом і новий "мінус" у знаменнику взаємно знищуються.

$$ \frac{3x-y}{6x+6} \cdot \frac{8x+8}{3x-y} $$

Винесемо спільні множники в знаменнику першого та чисельнику другого дробу:

$$ \frac{3x-y}{6(x+1)} \cdot \frac{8(x+1)}{3x-y} = \frac{\cancel{(3x-y)} \cdot \cancel{8}^4 \cdot \cancel{(x+1)}}{\cancel{6}_3 \cdot \cancel{(x+1)} \cdot \cancel{(3x-y)}} = \frac{4}{3} $$

3) $ \frac{a^2-2a+1}{15m^2} \cdot \frac{5m}{a^2-1} $

Застосуємо формули скороченого множення:

$$ \frac{(a-1)^2}{15m^2} \cdot \frac{5m}{(a-1)(a+1)} $$

Перемножимо та скоротимо:

$$ \frac{(a-1)^{\cancel{2}} \cdot \cancel{5m}^1}{\cancel{15m^2}_{3m} \cdot \cancel{(a-1)} \cdot (a+1)} = \frac{a-1}{3m(a+1)} $$

4) $ \frac{c^2+2c}{12ab} \cdot \frac{20a^2b}{c^2+4c+4} $

Розкладемо на множники чисельник першого дробу та знаменник другого:

$$ \frac{c(c+2)}{12ab} \cdot \frac{20a^2b}{(c+2)^2} $$

Перемножимо та скоротимо:

$$ \frac{c \cdot \cancel{(c+2)} \cdot \cancel{20}^5 \cdot \cancel{a^2}^a \cdot \cancel{b}}{\cancel{12}_3 \cdot \cancel{a} \cdot \cancel{b} \cdot (c+2)^{\cancel{2}}} = \frac{5ac}{3(c+2)} $$