Розв'язання вправи № 42 (Повторення розділу 1) - ГДЗ Алгебра 8 клас (Істер)

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

Умова

Виконайте дію:

1) $ \frac{a^7+a^5}{a^6-a^4} \cdot \frac{a^6-a^8}{a^3+a^5} $; 2) $ -\frac{a^2-25}{a^2-4b^2} \cdot (-\frac{a+2b}{2a-10}) $;

3) $ \frac{5c^5-3c^4}{c^3-8} \cdot \frac{2c-4}{3c^2-5c^3} $; 4) $ (a^2+4a+4) \cdot (-\frac{4}{10+5a}) $.

Короткий розв'язок

1) $ \frac{a^5(a^2+1)}{a^4(a^2-1)} \cdot \frac{a^6(1-a^2)}{a^3(a^2+1)} = \frac{a^5(a^2+1) \cdot (-a^6(a^2-1))}{a^4(a^2-1) \cdot a^3(a^2+1)} = -a^4 $

2) $ \frac{(a-5)(a+5)}{(a-2b)(a+2b)} \cdot \frac{a+2b}{2(a-5)} = \frac{a+5}{2(a-2b)} $

3) $ \frac{c^4(5c-3)}{(c-2)(c^2+2c+4)} \cdot \frac{2(c-2)}{-c^2(5c-3)} = \frac{-2c^2}{c^2+2c+4} $

4) $ \frac{(a+2)^2}{1} \cdot \frac{-4}{5(a+2)} = \frac{-4(a+2)}{5} $

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Щоб виконати множення раціональних дробів, необхідно розкласти на множники всі чисельники і знаменники, використовуючи винесення спільного множника за дужки та формули скороченого множення. Потім, записавши добуток під спільною рискою дробу, скоротити однакові множники.

1) $ \frac{a^7+a^5}{a^6-a^4} \cdot \frac{a^6-a^8}{a^3+a^5} $

Розкладемо кожен чисельник і знаменник на множники, виносячи за дужки степінь з найменшим показником:

$$ \frac{a^5(a^2+1)}{a^4(a^2-1)} \cdot \frac{a^6(1-a^2)}{a^3(1+a^2)} $$

Замінимо $(1-a^2)$ на $-(a^2-1)$:

$$ \frac{a^5(a^2+1)}{a^4(a^2-1)} \cdot \frac{-a^6(a^2-1)}{a^3(a^2+1)} = \frac{a^5(a^2+1) \cdot (-a^6)(a^2-1)}{a^4(a^2-1) \cdot a^3(a^2+1)} $$

Скорочуємо однакові множники $(a^2+1)$ і $(a^2-1)$, а також степені змінної $a$:

$$ \frac{a^{5+6-4-3} \cdot (-1)}{1} = -a^4 $$

2) $ -\frac{a^2-25}{a^2-4b^2} \cdot (-\frac{a+2b}{2a-10}) $

Добуток двох від'ємних виразів є додатним, тому знаки "мінус" можна прибрати. Розкладемо чисельники і знаменники на множники за формулами скороченого множення:

$$ \frac{(a-5)(a+5)}{(a-2b)(a+2b)} \cdot \frac{a+2b}{2(a-5)} = \frac{(a-5)(a+5)(a+2b)}{(a-2b)(a+2b) \cdot 2(a-5)} $$

Скорочуємо спільні множники $(a-5)$ та $(a+2b)$:

$$ \frac{a+5}{2(a-2b)} $$

3) $ \frac{5c^5-3c^4}{c^3-8} \cdot \frac{2c-4}{3c^2-5c^3} $

Розкладемо на множники:

$$ \frac{c^4(5c-3)}{(c-2)(c^2+2c+4)} \cdot \frac{2(c-2)}{c^2(3-5c)} $$

Замінимо $(3-5c)$ на $-(5c-3)$:

$$ \frac{c^4(5c-3)}{(c-2)(c^2+2c+4)} \cdot \frac{2(c-2)}{-c^2(5c-3)} = \frac{2c^4(5c-3)(c-2)}{-c^2(c-2)(c^2+2c+4)(5c-3)} $$

Скорочуємо однакові множники і степені $c$:

$$ \frac{2c^2}{-1(c^2+2c+4)} = -\frac{2c^2}{c^2+2c+4} $$

4) $ (a^2+4a+4) \cdot (-\frac{4}{10+5a}) $

Представимо перший вираз як дріб і розкладемо на множники: