До змісту

Розв'язання вправи № 42 (Повторення розділу 1) - ГДЗ Алгебра 8 клас (Істер)

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Виконайте дію:

1) a7+a5a6−a4⋅a6−a8a3+a5 \frac{a^7+a^5}{a^6-a^4} \cdot \frac{a^6-a^8}{a^3+a^5} ;     2) −a2−25a2−4b2⋅(−a+2b2a−10) -\frac{a^2-25}{a^2-4b^2} \cdot (-\frac{a+2b}{2a-10}) ;

3) 5c5−3c4c3−8⋅2c−43c2−5c3 \frac{5c^5-3c^4}{c^3-8} \cdot \frac{2c-4}{3c^2-5c^3} ;     4) (a2+4a+4)⋅(−410+5a) (a^2+4a+4) \cdot (-\frac{4}{10+5a}) .

Короткий розв'язок

1) a5(a2+1)a4(a2−1)⋅a6(1−a2)a3(a2+1)=a5(a2+1)⋅(−a6(a2−1))a4(a2−1)⋅a3(a2+1)=−a4 \frac{a^5(a^2+1)}{a^4(a^2-1)} \cdot \frac{a^6(1-a^2)}{a^3(a^2+1)} = \frac{a^5(a^2+1) \cdot (-a^6(a^2-1))}{a^4(a^2-1) \cdot a^3(a^2+1)} = -a^4

2) (a−5)(a+5)(a−2b)(a+2b)⋅a+2b2(a−5)=a+52(a−2b) \frac{(a-5)(a+5)}{(a-2b)(a+2b)} \cdot \frac{a+2b}{2(a-5)} = \frac{a+5}{2(a-2b)}

3) c4(5c−3)(c−2)(c2+2c+4)⋅2(c−2)−c2(5c−3)=−2c2c2+2c+4 \frac{c^4(5c-3)}{(c-2)(c^2+2c+4)} \cdot \frac{2(c-2)}{-c^2(5c-3)} = \frac{-2c^2}{c^2+2c+4}

4) (a+2)21⋅−45(a+2)=−4(a+2)5 \frac{(a+2)^2}{1} \cdot \frac{-4}{5(a+2)} = \frac{-4(a+2)}{5}

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Щоб виконати множення раціональних дробів, необхідно розкласти на множники всі чисельники і знаменники, використовуючи винесення спільного множника за дужки та формули скороченого множення. Потім, записавши добуток під спільною рискою дробу, скоротити однакові множники.

1) a7+a5a6−a4⋅a6−a8a3+a5 \frac{a^7+a^5}{a^6-a^4} \cdot \frac{a^6-a^8}{a^3+a^5}

Розкладемо кожен чисельник і знаменник на множники, виносячи за дужки степінь з найменшим показником:

a5(a2+1)a4(a2−1)⋅a6(1−a2)a3(1+a2) \frac{a^5(a^2+1)}{a^4(a^2-1)} \cdot \frac{a^6(1-a^2)}{a^3(1+a^2)}

Замінимо (1−a2)(1-a^2) на −(a2−1)-(a^2-1):

a5(a2+1)a4(a2−1)⋅−a6(a2−1)a3(a2+1)=a5(a2+1)⋅(−a6)(a2−1)a4(a2−1)⋅a3(a2+1) \frac{a^5(a^2+1)}{a^4(a^2-1)} \cdot \frac{-a^6(a^2-1)}{a^3(a^2+1)} = \frac{a^5(a^2+1) \cdot (-a^6)(a^2-1)}{a^4(a^2-1) \cdot a^3(a^2+1)}

Скорочуємо однакові множники (a2+1)(a^2+1) і (a2−1)(a^2-1), а також степені змінної aa:

a5+6−4−3⋅(−1)1=−a4 \frac{a^{5+6-4-3} \cdot (-1)}{1} = -a^4

2) −a2−25a2−4b2⋅(−a+2b2a−10) -\frac{a^2-25}{a^2-4b^2} \cdot (-\frac{a+2b}{2a-10})

Добуток двох від'ємних виразів є додатним, тому знаки "мінус" можна прибрати. Розкладемо чисельники і знаменники на множники за формулами скороченого множення:

(a−5)(a+5)(a−2b)(a+2b)⋅a+2b2(a−5)=(a−5)(a+5)(a+2b)(a−2b)(a+2b)⋅2(a−5) \frac{(a-5)(a+5)}{(a-2b)(a+2b)} \cdot \frac{a+2b}{2(a-5)} = \frac{(a-5)(a+5)(a+2b)}{(a-2b)(a+2b) \cdot 2(a-5)}

Скорочуємо спільні множники (a−5)(a-5) та (a+2b)(a+2b):

a+52(a−2b) \frac{a+5}{2(a-2b)}

3) 5c5−3c4c3−8⋅2c−43c2−5c3 \frac{5c^5-3c^4}{c^3-8} \cdot \frac{2c-4}{3c^2-5c^3}

Розкладемо на множники:

c4(5c−3)(c−2)(c2+2c+4)⋅2(c−2)c2(3−5c) \frac{c^4(5c-3)}{(c-2)(c^2+2c+4)} \cdot \frac{2(c-2)}{c^2(3-5c)}

Замінимо (3−5c)(3-5c) на −(5c−3)-(5c-3):

c4(5c−3)(c−2)(c2+2c+4)⋅2(c−2)−c2(5c−3)=2c4(5c−3)(c−2)−c2(c−2)(c2+2c+4)(5c−3) \frac{c^4(5c-3)}{(c-2)(c^2+2c+4)} \cdot \frac{2(c-2)}{-c^2(5c-3)} = \frac{2c^4(5c-3)(c-2)}{-c^2(c-2)(c^2+2c+4)(5c-3)}

Скорочуємо однакові множники і степені cc:

2c2−1(c2+2c+4)=−2c2c2+2c+4 \frac{2c^2}{-1(c^2+2c+4)} = -\frac{2c^2}{c^2+2c+4}

4) (a2+4a+4)⋅(−410+5a) (a^2+4a+4) \cdot (-\frac{4}{10+5a})

Представимо перший вираз як дріб і розкладемо на множники:

(a+2)21⋅−45(2+a)=−4(a+2)25(a+2) \frac{(a+2)^2}{1} \cdot \frac{-4}{5(2+a)} = \frac{-4(a+2)^2}{5(a+2)}

Скорочуємо спільний множник (a+2)(a+2):

−4(a+2)5 \frac{-4(a+2)}{5}