Розв'язання вправи № 61 (Повторення розділу 1) - ГДЗ Алгебра 8 клас (Істер)
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер (2025).
Умова
Відомо, що $ x^2+\frac{1}{x^2}=23 $. Знайдіть значення виразу $ x+\frac{1}{x} $.
Короткий розв'язок
$ \left(x+\frac{1}{x}\right)^2 = x^2+2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2+\frac{1}{x^2}+2 $.
$ \left(x+\frac{1}{x}\right)^2 = 23+2=25 $.
$ x+\frac{1}{x} = \sqrt{25} $ або $ x+\frac{1}{x} = -\sqrt{25} $.
$ x+\frac{1}{x} = 5 $ або $ x+\frac{1}{x} = -5 $.
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Ідея полягає в тому, щоб побачити зв'язок між виразами $ x^2+\frac{1}{x^2} $ та $ x+\frac{1}{x} $ через формулу квадрата суми $ (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 $. Піднісши шуканий вираз до квадрата, ми зможемо використати дану в умові рівність.
Піднесемо вираз $ x+\frac{1}{x} $ до квадрата:
Спростимо середній доданок:
Перегрупуємо доданки, щоб використати умову задачі:
З умови нам відомо, що $ x^2+\frac{1}{x^2}=23 $. Підставимо це значення у нашу рівність:
Ми отримали рівняння $ A^2 = 25 $, де $ A = x+\frac{1}{x} $. Щоб знайти $ A $, потрібно добути квадратний корінь з 25. Важливо пам'ятати, що рівняння такого типу має два розв'язки:
Отже, вираз може набувати двох значень.
Відповідь: 5 або -5.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.