Розв'язання вправи № 63 (Повторення розділу 1) - ГДЗ Алгебра 8 клас (Істер)
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер (2025).
Умова
Доведіть, що вираз $ \frac{x^2}{x^2+4x+4} \cdot \frac{8x^2-32}{x^3-2x^2} + \frac{x^5-8x^2}{x} : (x^2-4) $ для всіх допустимих значень змінної набуває лише додатних значень.
Короткий розв'язок
$ \frac{x^2}{(x+2)^2} \cdot \frac{8(x-2)(x+2)}{x^2(x-2)} + \frac{x^2(x^3-8)}{x} \cdot \frac{1}{(x-2)(x+2)} = \frac{8}{x+2} + \frac{x(x-2)(x^2+2x+4)}{(x-2)(x+2)} = \frac{8+x(x^2+2x+4)}{x+2} = \frac{8+x^3+2x^2+4x}{x+2} = \frac{(x+2)(x^2+4)+x^3+2x^2+4x-x^3-2x^2-4x-8}{x+2} $
$ \frac{8}{x+2} + x^2+2x+4 = \frac{8+(x+2)(x^2+2x+4)}{x+2} $
$ \frac{8(x-2)}{ (x+2)(x-2) } + \frac{x(x^2-2x+4)}{x+2} = \frac{8+x^3-2x^2+4x}{x+2} $ - невірно. $x(x^2+2x+4) $
$ \frac{8}{x+2} + \frac{x(x-2)(x^2+2x+4)}{(x-2)(x+2)} = \frac{8}{x+2} + x^2+2x+4 $. Невірно. $ \frac{x(x^2+2x+4)}{x+2} $
$ \frac{8}{x+2} + \frac{x(x^3-8)}{x(x-2)(x+2)} = \frac{8}{x+2} + \frac{x^2(x-2)(x^2+2x+4)}{x(x-2)(x+2)} = \frac{8}{x+2} + \frac{x(x^2+2x+4)}{x+2} = \frac{8+x^3+2x^2+4x}{x+2} $
$ \frac{8}{x+2} + x^2+2x+4 $ - $ \frac{x(x^2+2x+4)}{x+2} = \frac{8+x^3+2x^2+4x}{x+2} $. Це ділення стовпчиком: $ (x^3+2x^2+4x+8):(x+2)=x^2+4 $
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Щоб довести твердження, потрібно спростити вираз по частинах, дотримуючись порядку дій (множення/ділення, потім додавання). Після отримання кінцевого виразу проаналізуємо його, щоб довести, що він завжди додатний.
1. Спрощення першого доданка: $ \frac{x^2}{x^2+4x+4} \cdot \frac{8x^2-32}{x^3-2x^2} $
Розкладемо на множники:
Скорочуємо $x^2$, $(x-2)$ та $(x+2)$:
2. Спрощення другого доданка: $ \frac{x^5-8x^2}{x} : (x^2-4) $
Розкладемо на множники та замінимо ділення множенням:
Скорочуємо $x$ та $(x-2)$:
3. Додавання результатів.
Додамо спрощені частини:
Помітимо, що чисельник можна розкласти на множники групуванням: $ x^3+2x^2+4x+8 = x^2(x+2)+4(x+2)=(x+2)(x^2+4) $.
4. Аналіз кінцевого виразу.
Ми отримали вираз $ x^2+4 $.
- Для будь-якого дійсного числа $x$, вираз $x^2$ є невід'ємним, тобто $x^2 \ge 0$.
- Додавання до невід'ємного числа додатного числа 4 дає строго додатний результат: $x^2+4 \ge 4 > 0$.
Отже, вираз $x^2+4$ завжди набуває додатних значень для всіх допустимих значень змінної, що й треба було довести.
