Розв'язання вправи № 55 (Повторення розділу 1) - ГДЗ Алгебра 8 клас (Істер)
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер (2025).
Умова
Виконайте дії:
1) $ \left(\frac{2a}{2a-1}+1\right) \cdot \frac{6a-3}{4a^2-a} $; 2) $ \left(m+\frac{m^2}{3-m}\right) : \frac{m+3}{m-3} $;
3) $ \left(\frac{a}{a-b}-\frac{a}{a+b}\right) : \frac{ab}{a+b} $; 4) $ \left(p-\frac{p^2-3}{p+1}\right) \cdot \frac{p^2-1}{p+3} $.
Короткий розв'язок
1) $ \frac{4a-1}{2a-1} \cdot \frac{3(2a-1)}{a(4a-1)} = \frac{3}{a} $
2) $ \frac{3m}{3-m} \cdot \frac{m-3}{m+3} = \frac{3m}{-(m-3)} \cdot \frac{m-3}{m+3} = -\frac{3m}{m+3} $
3) $ \frac{2ab}{(a-b)(a+b)} \cdot \frac{a+b}{ab} = \frac{2}{a-b} $
4) $ \frac{p+3}{p+1} \cdot \frac{(p-1)(p+1)}{p+3} = p-1 $
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Для розв'язання цих прикладів необхідно дотримуватися порядку дій: спочатку виконуємо дії в дужках (зведення до спільного знаменника), а потім — множення або ділення. Важливо максимально спрощувати вирази на кожному етапі, розкладаючи їх на множники.
1) $ \left(\frac{2a}{2a-1}+1\right) \cdot \frac{6a-3}{4a^2-a} $
Дія 1 (в дужках): $ \frac{2a}{2a-1}+1 = \frac{2a+(2a-1)}{2a-1} = \frac{4a-1}{2a-1} $.
Дія 2 (множення): $ \frac{4a-1}{2a-1} \cdot \frac{6a-3}{4a^2-a} = \frac{4a-1}{2a-1} \cdot \frac{3(2a-1)}{a(4a-1)} $.
Скорочуємо $ (4a-1) $ і $ (2a-1) $: $ \frac{\cancel{4a-1}}{\cancel{2a-1}} \cdot \frac{3\cancel{(2a-1)}}{a\cancel{(4a-1)}} = \frac{3}{a} $.
2) $ \left(m+\frac{m^2}{3-m}\right) : \frac{m+3}{m-3} $
Дія 1 (в дужках): $ m+\frac{m^2}{3-m} = \frac{m(3-m)+m^2}{3-m} = \frac{3m-m^2+m^2}{3-m} = \frac{3m}{3-m} $.
Дія 2 (ділення): $ \frac{3m}{3-m} : \frac{m+3}{m-3} = \frac{3m}{3-m} \cdot \frac{m-3}{m+3} $.
Оскільки $ 3-m = -(m-3) $, то $ \frac{3m}{-(m-3)} \cdot \frac{m-3}{m+3} = -\frac{3m \cdot \cancel{(m-3)}}{\cancel{(m-3)}(m+3)} = -\frac{3m}{m+3} $.
3) $ \left(\frac{a}{a-b}-\frac{a}{a+b}\right) : \frac{ab}{a+b} $
Дія 1 (в дужках): $ \frac{a}{a-b}-\frac{a}{a+b} = \frac{a(a+b)-a(a-b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2+ab-a^2+ab}{(a-b)(a+b)} = \frac{2ab}{(a-b)(a+b)} $.
Дія 2 (ділення): $ \frac{2ab}{(a-b)(a+b)} : \frac{ab}{a+b} = \frac{2ab}{(a-b)(a+b)} \cdot \frac{a+b}{ab} $.
Скорочуємо $ ab $ і $ (a+b) $: $ \frac{2\cancel{ab}}{(a-b)\cancel{(a+b)}} \cdot \frac{\cancel{a+b}}{\cancel{ab}} = \frac{2}{a-b} $.
4) $ \left(p-\frac{p^2-3}{p+1}\right) \cdot \frac{p^2-1}{p+3} $
Дія 1 (в дужках): $ p-\frac{p^2-3}{p+1} = \frac{p(p+1)-(p^2-3)}{p+1} = \frac{p^2+p-p^2+3}{p+1} = \frac{p+3}{p+1} $.
Дія 2 (множення): $ \frac{p+3}{p+1} \cdot \frac{p^2-1}{p+3} = \frac{p+3}{p+1} \cdot \frac{(p-1)(p+1)}{p+3} $.
Скорочуємо $ (p+3) $ і $ (p+1) $: $ \frac{\cancel{p+3}}{\cancel{p+1}} \cdot \frac{(p-1)\cancel{(p+1)}}{\cancel{p+3}} = p-1 $.
