Розв'язання вправи № 64 (Повторення розділу 1) - ГДЗ Алгебра 8 клас (Істер)
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер (2025).
Умова
Доведіть, що вираз $ \left(\frac{3m+2}{3m^2+1}-\frac{18m^3-m-9}{9m^4-1}+\frac{3m-2}{3m^2-1}\right) : \frac{m^2+10m+25}{9m^4-1} $ для всіх $ m < -5 $ набуває лише від'ємних значень.
Короткий розв'язок
$ \frac{(3m+2)(3m^2-1)-(18m^3-m-9)+(3m-2)(3m^2+1)}{9m^4-1} : \frac{(m+5)^2}{9m^4-1} $
$ = \frac{m+5}{9m^4-1} \cdot \frac{9m^4-1}{(m+5)^2} = \frac{1}{m+5} $.
Якщо $ m < -5 $, то $ m+5 < 0 $. Отже, $ \frac{1}{m+5} < 0 $.
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Для доведення твердження необхідно спростити даний вираз. Спочатку виконаємо дії в дужках, звівши дроби до спільного знаменника, а потім виконаємо ділення. Після отримання спрощеного виразу проаналізуємо його знак за умови $m < -5$.
1. Дія в дужках.
Розкладемо знаменник $ 9m^4-1 = (3m^2-1)(3m^2+1) $. Це і буде спільний знаменник.
Розкриємо дужки в чисельнику:
$ (3m+2)(3m^2-1) = 9m^3-3m+6m^2-2 $
$ (3m-2)(3m^2+1) = 9m^3+3m-6m^2-2 $
Підставимо і зведемо подібні доданки:
2. Виконання ділення.
Тепер ділимо результат першої дії на другий дріб:
Замінюємо ділення множенням на обернений дріб і розкладаємо $ m^2+10m+25 = (m+5)^2 $:
Скорочуємо $ (9m^4-1) $ і $ (m+5) $:
3. Аналіз знаку виразу.
Ми отримали спрощений вираз $ \frac{1}{m+5} $.
За умовою задачі $ m < -5 $.
Якщо до обох частин нерівності додати 5, отримаємо: $ m+5 < -5+5 $, тобто $ m+5 < 0 $.
Отже, знаменник дробу $ m+5 $ є від'ємним числом. Чисельник 1 є додатним. Частка додатного і від'ємного чисел завжди є від'ємним числом.
Таким чином, $ \frac{1}{m+5} < 0 $ для всіх $ m < -5 $, що й треба було довести.
