Розв'язання вправи № 57 (Повторення розділу 1) - ГДЗ Алгебра 8 клас (Істер)
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер (2025).
Умова
Спростіть вираз:
1) $ \left(\frac{1}{a+b}-\frac{a}{b^2+ab}\right) \cdot \left(\frac{b^2}{a^3-ab^2}-\frac{b}{a^2-ab}\right) $;
2) $ \left(\frac{6a+1}{a-3}+\frac{6a-1}{a+3}\right) : \frac{2a^2+1}{a-3} $.
Короткий розв'язок
1) $ \frac{b-a}{b(a+b)} \cdot \frac{-b}{(a-b)(a+b)} = \frac{-(a-b)}{b(a+b)} \cdot \frac{-b}{(a-b)(a+b)} = \frac{1}{(a+b)^2} $
2) $ \frac{12a^2+6}{(a-3)(a+3)} \cdot \frac{a-3}{2a^2+1} = \frac{6(2a^2+1)}{(a-3)(a+3)} \cdot \frac{a-3}{2a^2+1} = \frac{6}{a+3} $
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Для спрощення цих виразів слід суворо дотримуватися порядку дій: спочатку виконуємо дії в дужках, зводячи дроби до спільного знаменника, а потім — множення або ділення. На кожному етапі важливо розкладати многочлени на множники для подальшого скорочення.
1) $ \left(\frac{1}{a+b}-\frac{a}{b^2+ab}\right) \cdot \left(\frac{b^2}{a^3-ab^2}-\frac{b}{a^2-ab}\right) $
Дія 1 (перші дужки):
Дія 2 (другі дужки):
Зводимо до спільного знаменника $ a(a-b)(a+b) $:
Дія 3 (множення):
Скорочуємо $ b $ та $ (a-b) $, отримуємо:
2) $ \left(\frac{6a+1}{a-3}+\frac{6a-1}{a+3}\right) : \frac{2a^2+1}{a-3} $
Дія 1 (в дужках):
Спільний знаменник $ (a-3)(a+3) = a^2-9 $.
Дія 2 (ділення):
Скорочуємо $ (2a^2+1) $ та $ (a-3) $:
