Розв'язання вправи № 56 (Повторення розділу 1) - ГДЗ Алгебра 8 клас (Істер)
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер (2025).
Умова
Доведіть тотожність:
1) $ \left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2\right) : (a+b) = \frac{a+b}{ab} $; 2) $ \frac{m-n}{mn} : \left(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{m^2}\right) = \frac{mn}{m+n} $.
Короткий розв'язок
1) $ \frac{a^2+b^2+2ab}{ab} : (a+b) = \frac{(a+b)^2}{ab} \cdot \frac{1}{a+b} = \frac{a+b}{ab} $
2) $ \frac{m-n}{mn} : \frac{m^2-n^2}{m^2n^2} = \frac{m-n}{mn} \cdot \frac{(mn)^2}{(m-n)(m+n)} = \frac{mn}{m+n} $
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Для доведення тотожності необхідно перетворити її ліву частину так, щоб вона стала ідентичною правій. Ми будемо послідовно виконувати дії, спочатку в дужках, а потім ділення, застосовуючи формули скороченого множення.
1) Доведення тотожності $ \left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2\right) : (a+b) = \frac{a+b}{ab} $
Спочатку виконаємо дію в дужках, звівши до спільного знаменника $ab$:
Чисельник є повним квадратом суми: $ a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 $. Отже, вираз у дужках дорівнює:
Тепер виконаємо ділення:
Ліва частина дорівнює правій, тотожність доведено.
2) Доведення тотожності $ \frac{m-n}{mn} : \left(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{m^2}\right) = \frac{mn}{m+n} $
Спочатку виконаємо дію в дужках, звівши до спільного знаменника $ m^2n^2 $:
Розкладемо чисельник за формулою різниці квадратів: $ m^2-n^2=(m-n)(m+n) $.
Тепер виконаємо ділення:
Скорочуємо спільні множники $ (m-n) $ та $ mn $:
Ліва частина дорівнює правій, тотожність доведено.
