Розв'язання вправи № 72 (Повторення розділу 1) - ГДЗ Алгебра 8 клас (Істер)
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер (2025).
Умова
Два робітники, працюючи разом, можуть виконати деяку роботу за 8 днів. Перший робітник може виконати цю роботу самостійно вдвічі швидше, ніж другий. За скільки днів кожний з робітників може виконати цю роботу самостійно?
Короткий розв'язок
Нехай перший робітник виконує роботу за $x$ днів, тоді другий — за $2x$ днів. Продуктивність першого — $1/x$, другого — $1/(2x)$. Спільна продуктивність — $1/8$.
$ \frac{1}{x} + \frac{1}{2x} = \frac{1}{8} \Rightarrow \frac{3}{2x} = \frac{1}{8} \Rightarrow 2x = 24 \Rightarrow x=12 $.
Перший робітник — 12 днів, другий — 24 дні.
Відповідь: 12 і 24 дні.
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Це задача на спільну роботу. Основна ідея полягає у використанні поняття "продуктивність праці" — частина роботи, що виконується за одиницю часу. Якщо вся робота приймається за 1, а час її виконання — $t$, то продуктивність — $1/t$. Спільна продуктивність дорівнює сумі продуктивностей окремих виконавців.
1. Введення змінної та складання виразів.
Нехай перший робітник може виконати всю роботу самостійно за $x$ днів.
Оскільки він працює вдвічі швидше, ніж другий, то другий робітник витратить на цю ж роботу вдвічі більше часу, тобто $2x$ днів.
Тепер визначимо продуктивність кожного робітника (яку частину роботи вони виконують за 1 день):
- Продуктивність першого робітника: $ \frac{1}{x} $.
- Продуктивність другого робітника: $ \frac{1}{2x} $.
Коли вони працюють разом, їхня спільна продуктивність дорівнює сумі їхніх продуктивностей: $ \frac{1}{x} + \frac{1}{2x} $.
За умовою, разом вони виконують роботу за 8 днів, отже, їхня спільна продуктивність дорівнює $ \frac{1}{8} $.
2. Складання та розв'язання рівняння.
Прирівняємо вираз для спільної продуктивності до її числового значення:
Зведемо до спільного знаменника ліву частину:
Розв'яжемо отриману пропорцію:
3. Знаходження часу для кожного робітника.
Ми знайшли, що $x=12$. Отже:
- Час першого робітника: $x = 12$ днів.
- Час другого робітника: $2x = 2 \cdot 12 = 24$ дні.
Відповідь: Перший робітник може виконати роботу за 12 днів, а другий — за 24 дні.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.