ГДЗ до вправи 13.14 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) Нехай $$ \sqrt{x-2} = t \ge 0 \Rightarrow x = t^2 + 2 $$ $$ \sqrt{t^2 + 1 - 2t} + \sqrt{t^2 + 9 - 6t} = 6 $$ $$ |t - 1| + |t - 3| = 6 \Rightarrow t = 5 $$ $$ \sqrt{x-2} = 5 \Rightarrow x = 27 $$ Відповідь: 27.

2) Нехай $$ \sqrt{x-1} = t \ge 0 $$ $$ \sqrt{t^2 + 4 - 4t} + \sqrt{t^2 + 9 - 6t} = 1 $$ $$ |t - 2| + |t - 3| = 1 \Rightarrow 2 \le t \le 3 $$ $$ 2 \le \sqrt{x-1} \le 3 \Rightarrow x \in [5; 10] $$ Відповідь: [5; 10].

3) Нехай $$ \sqrt{x+1} = t \ge 0 $$ $$ \sqrt{t^2 + 1 + 2t} - \sqrt{t^2 + 4 - 4t} = 4 $$ $$ |t + 1| - |t - 2| = 4 \Rightarrow t + 1 - |t - 2| = 4 $$ $$ \text{При } t \ge 2: 3 = 4 \text{ (хибно); при } t < 2: 2t - 1 = 4 \Rightarrow t = 2,5 \text{ (сторонній)} $$ Відповідь: розв'язків немає.

• У кожному пункті виконується заміна змінної для спрощення підкореневих виразів. Вирази виду $ x + a - b\sqrt{x+c} $ згортаються у квадрат різниці або суми за формулою $ (u \pm v)^2 $.
• Після вилучення коренів отримуємо рівняння з абсолютними величинами (модулями). Для їх розв’язання використовується метод інтервалів для нової змінної $ t $.
• У другому пункті сума модулів на певному проміжку перетворюється на тотожність, що дає цілий числовий відрізок у відповіді. У третьому пункті аналіз проміжків показує відсутність значень, що задовольняють рівність.