ГДЗ до вправи 13.11 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $$ (\sqrt{4 - x} + \sqrt{x + 5})^2 = 3^2 $$ $$ 4 - x + x + 5 + 2\sqrt{(4 - x)(x + 5)} = 9 \Rightarrow 9 + 2\sqrt{-x^2 - x + 20} = 9 $$ $$ 2\sqrt{-x^2 - x + 20} = 0 \Rightarrow -x^2 - x + 20 = 0 \Rightarrow x^2 + x - 20 = 0 $$ $$ (x + 5)(x - 4) = 0 \Rightarrow x_1 = -5; x_2 = 4 $$ Відповідь: -5; 4.

2) $$ (\sqrt{5x + 1} + \sqrt{7 - x})^2 = 6^2 $$ $$ 5x + 1 + 7 - x + 2\sqrt{(5x + 1)(7 - x)} = 36 \Rightarrow 4x + 8 + 2\sqrt{-5x^2 + 34x + 7} = 36 $$ $$ \sqrt{-5x^2 + 34x + 7} = 14 - 2x \Rightarrow -5x^2 + 34x + 7 = (14 - 2x)^2 $$ $$ -5x^2 + 34x + 7 = 196 - 56x + 4x^2 \Rightarrow 9x^2 - 90x + 189 = 0 $$ $$ x^2 - 10x + 21 = 0 \Rightarrow x_1 = 3; x_2 = 7 $$ Відповідь: 3; 7.

• У першому пункті після першого піднесення до квадрата вираз під радикалом виявляється рівним нулю. Це значно спрощує розв'язання, зводячи його до пошуку коренів квадратного тричлена.
• У другому пункті після зведення подібних доданків потрібно ізолювати радикал і піднести рівняння до квадрата вдруге. Важливо пам'ятати про умову $ 14 - 2x \ge 0 $, що обмежує значення $ x \le 7 $.
• Обидва знайдені корені у другому прикладі задовольняють ОДЗ ($ x \in [-0,2; 7] $) та умову невід'ємності правої частини.