ГДЗ до вправи 13.13 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 13.13
Розв’яжіть рівняння:
- $$ \sqrt{x + 2} + \sqrt{3x + 7} = \sqrt{8 - x}; $$
- $$ \sqrt{6x - 11} - \sqrt{x - 2} = \sqrt{x + 3}. $$
Розв'язок вправи № 13.13
Коротке рішення
1) ОДЗ: $$ x \in [-2; 8] $$ $$ x + 2 + 3x + 7 + 2\sqrt{(x+2)(3x+7)} = 8 - x $$ $$ 2\sqrt{3x^2 + 13x + 14} = -5x - 1 \Rightarrow x \le -0,2 $$ $$ 4(3x^2 + 13x + 14) = 25x^2 + 10x + 1 \Rightarrow 13x^2 - 42x - 55 = 0 $$ $$ x_1 = -1; \quad x_2 = \frac{55}{13} \text{ (сторонній)} $$ Відповідь: -1.
2) ОДЗ: $$ x \in [2; +\infty) $$ $$ \sqrt{6x - 11} = \sqrt{x + 3} + \sqrt{x - 2} $$ $$ 6x - 11 = x + 3 + x - 2 + 2\sqrt{(x+3)(x-2)} $$ $$ 2x - 6 = \sqrt{x^2 + x - 6} \Rightarrow x \ge 3 $$ $$ 4x^2 - 24x + 36 = x^2 + x - 6 \Rightarrow 3x^2 - 25x + 42 = 0 $$ $$ x_1 = 6; \quad x_2 = \frac{7}{3} \text{ (сторонній)} $$ Відповідь: 6.
Детальне рішення
Для розв’язання ірраціональних рівнянь з кількома коренями використовується метод послідовного піднесення до квадрата з обов’язковим врахуванням області допустимих значень. Детальніше: Ірраціональні рівняння.
- У першому рівнянні визначаємо ОДЗ для всіх підкореневих виразів. Підносимо обидві частини до квадрата, ізолюємо залишений радикал та підносимо до квадрата вдруге за умови невід’ємності лінійної частини. Отриманий корінь перевіряємо за ОДЗ.
- У другому рівнянні переносимо радикал зі знаком мінус у праву частину для зручності піднесення до квадрата. Після першого спрощення отримуємо ірраціональне рівняння стандартного вигляду, яке розв’язуємо з урахуванням обмежень на змінну.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.