ГДЗ до вправи 13.16 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 13.16
Розв’яжіть рівняння:
- $$ \sqrt{x^2 - 4} + \sqrt{x^2 + 2x - 8} = \sqrt{x^2 - 6x + 8}; $$
- $$ \sqrt{2x^2 + 5x + 2} - \sqrt{x^2 + x - 2} = \sqrt{3x + 6}. $$
Розв'язок вправи № 13.16
Коротке рішення
1) $$ \sqrt{(x-2)(x+2)} + \sqrt{(x-2)(x+4)} = \sqrt{(x-2)(x-4)} $$ $$ \text{ОДЗ: } x \in \{2\} \cup [4; +\infty) $$ $$ \text{а) } x = 2 \Rightarrow 0 + 0 = 0 \text{ (корінь)} $$ $$ \text{б) } x \ge 4 \Rightarrow \sqrt{x+2} + \sqrt{x+4} = \sqrt{x-4} \text{ (ліва част. завжди більша) } \Rightarrow \emptyset $$ Відповідь: 2.
2) $$ \sqrt{(2x+1)(x+2)} - \sqrt{(x+2)(x-1)} = \sqrt{3(x+2)} $$ $$ \text{ОДЗ: } x \in \{-2\} \cup [1; +\infty) $$ $$ \text{а) } x = -2 \Rightarrow 0 - 0 = 0 \text{ (корінь)} $$ $$ \text{б) } x \ge 1 \Rightarrow \sqrt{2x+1} - \sqrt{x-1} = \sqrt{3} $$ $$ 2x+1 = 3 + x-1 + 2\sqrt{3(x-1)} \Rightarrow x-1 = 2\sqrt{3(x-1)} $$ $$ (x-1)^2 = 12(x-1) \Rightarrow x_1 = 1; x_2 = 13 $$ Відповідь: -2; 1; 13.
Детальне рішення
Для розв’язання ірраціональних рівнянь такого виду необхідно розкласти підкореневі вирази на множники та визначити область допустимих значень (ОДЗ). Додатково про ОДЗ: Ірраціональні рівняння.
- У першому прикладі спільний множник $ \sqrt{x-2} $ дозволяє знайти перший корінь. Аналіз ОДЗ показує, що для решти значень ліва частина суттєво перевищує праву, тому інших розв'язків немає.
- У другому прикладі спільний множник $ \sqrt{x+2} $ дає корінь -2. Після скорочення на цей множник для $ x \ge 1 $ ми отримуємо стандартне ірраціональне рівняння.
- Рівняння $ x-1 = 2\sqrt{3(x-1)} $ розв'язується через піднесення до квадрата або винесення спільного множника $ \sqrt{x-1} $, що дає корені 1 та 13.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.