ГДЗ до вправи 2.17 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 2.17
Знайдіть $\max_{M} f(x)$ і $\min_{M} f(x)$, якщо:
- $f(x) = -x^2 - 8x - 3, M = \mathbb{R}$;
- $f(x) = \sqrt{2x - x^2}, M = D(f)$.
Розв'язок вправи № 2.17
Короткий розв'язок
1) $\max f(x) = 13$, $\min$ не існує;
2) $\max f(x) = 1$, $\min f(x) = 0$.
Детальний розв'язок з поясненнями
Ключ до розв'язання: Найбільше та найменше значення квадратичної функції $ax^2 + bx + c$ при $a < 0$ досягається у вершині параболи. Для ірраціональної функції ми аналізуємо межі зміни підкореневого виразу на його області визначення. Повторити тему: Функції та їх властивості.
1) $f(x) = -x^2 - 8x - 3$. Це квадратична функція, графіком якої є парабола, вітки якої напрямлені вниз ($a = -1$). Найбільше значення досягається у вершині $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$:
Знайдемо значення функції у вершині:
Оскільки вітки напрямлені вниз, $\max_{\mathbb{R}} f(x) = 13$, а найменшого значення (мінімуму) функція на всій множині дійсних чисел не має.
2) $f(x) = \sqrt{2x - x^2}$. Знайдемо область визначення $D(f)$:
Вираз під коренем $g(x) = -x^2 + 2x$ — це парабола з вітками вниз. Її вершина: $x_0 = -\dfrac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$.
Значення у вершині: $g(1) = 2(1) - 1^2 = 1$. Значення на кінцях проміжку: $g(0) = 0$ та $g(2) = 0$.
Оскільки $0 \leq g(x) \leq 1$, то для кореня маємо $\sqrt{0} \leq f(x) \leq \sqrt{1}$.
Отже, $\max_{M} f(x) = 1, \min_{M} f(x) = 0$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.