ГДЗ до вправи 2.16 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 2.16
Знайдіть $\max_{M} f(x)$ і $\min_{M} f(x)$, якщо:
- $f(x) = x^2 - 6x + 10, M = \mathbb{R}$;
- $f(x) = \sqrt{16 - x^2}, M = D(f)$.
Розв'язок вправи № 2.16
Короткий розв'язок
1) $\min f(x) = 1$, $\max$ не існує;
2) $\min f(x) = 0$, $\max f(x) = 4$.
Детальний розв'язок з поясненнями
Ключ до розв'язання: Для знаходження найбільшого та найменшого значень квадратичної функції використовуємо виділення повного квадрата або координати вершини параболи. Для ірраціональної функції аналізуємо властивості виразу під коренем. Повторити теорію: Функції та їх властивості.
1) $f(x) = x^2 - 6x + 10$. Виділимо повний квадрат:
Оскільки $(x - 3)^2 \geq 0$ для всіх $x \in \mathbb{R}$, то найменше значення досягається при $x = 3$ і дорівнює 1. Найбільшого значення немає, бо при зростанні $|x|$ значення функції необмежено зростають.
Відповідь: $\min_{\mathbb{R}} f(x) = 1$, $\max$ не існує.
2) $f(x) = \sqrt{16 - x^2}$. Область визначення: $16 - x^2 \geq 0 \Rightarrow x \in [-4; 4]$.
Вираз під коренем $g(x) = 16 - x^2$ — це парабола вітками вниз. Її найбільше значення у вершині $x = 0$: $g(0) = 16$. Найменше значення на кінцях проміжку: $g(-4) = g(4) = 0$.
Відповідно для $f(x) = \sqrt{g(x)}$:
- $\max f(x) = \sqrt{16} = 4$;
- $\min f(x) = \sqrt{0} = 0$.
Відповідь: $\min_{M} f(x) = 0$, $\max_{M} f(x) = 4$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.