До змісту

ГДЗ до вправи 2.14 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Умова вправи № 2.14

Знайдіть область визначення функції:

  1. y=4−∣x∣+1x+2y = \sqrt{4 - |x|} + \dfrac{1}{x + 2};
  2. y=∣x∣−3+1x+1y = \sqrt{|x| - 3} + \dfrac{1}{\sqrt{x + 1}};
  3. y=∣x+1∣(x−3)y = \sqrt{|x + 1|(x - 3)}.

Розв'язок вправи № 2.14

Короткий розв'язок

1) [−4;−2)∪(−2;4][-4; -2) \cup (-2; 4];

2) [3;+∞)[3; +\infty);

3) {−1}∪[3;+∞)\{-1\} \cup [3; +\infty).

Детальний розв'язок з поясненнями

Ключ до розв'язання: Область визначення складеної функції — це переріз областей визначення всіх її частин. Враховуємо невід'ємність виразу під коренем та нерівність знаменника нулю. Поглибити знання можна тут: Функції та їх властивості.

1) y=4−∣x∣+1x+2y = \sqrt{4 - |x|} + \dfrac{1}{x + 2}. Система обмежень:

  • 4−∣x∣≥0⇒∣x∣≤4⇒−4≤x≤44 - |x| \geq 0 \Rightarrow |x| \leq 4 \Rightarrow -4 \leq x \leq 4;
  • x+2≠0⇒x≠−2x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2.

Отже, D(y)=[−4;−2)∪(−2;4]D(y) = [-4; -2) \cup (-2; 4].

2) y=∣x∣−3+1x+1y = \sqrt{|x| - 3} + \dfrac{1}{\sqrt{x + 1}}. Система обмежень:

  • ∣x∣−3≥0⇒∣x∣≥3⇒x∈(−∞;−3]∪[3;+∞)|x| - 3 \geq 0 \Rightarrow |x| \geq 3 \Rightarrow x \in (-\infty; -3] \cup [3; +\infty);
  • x+1>0x + 1 > 0 (корінь у знаменнику) ⇒x>−1\Rightarrow x > -1.

Перерізом цих проміжків є D(y)=[3;+∞)D(y) = [3; +\infty).

3) y=∣x+1∣(x−3)y = \sqrt{|x + 1|(x - 3)}. Обмеження:

∣x+1∣(x−3)≥0|x + 1|(x - 3) \geq 0

Оскільки ∣x+1∣≥0|x + 1| \geq 0 для всіх xx, нерівність виконується:

  • якщо ∣x+1∣=0|x + 1| = 0, тобто x=−1x = -1;
  • якщо ∣x+1∣>0|x + 1| > 0, тоді має бути x−3≥0⇒x≥3x - 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3.

Отже, область визначення складається з точки та променя: D(y)={−1}∪[3;+∞)D(y) = \{-1\} \cup [3; +\infty).

Популярне у 10 класі