ГДЗ до вправи 2.15 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 2.15
Знайдіть область визначення функції:
- $y = \dfrac{1}{\sqrt{|x| - 1}} + \sqrt{x + 4}$;
- $y = \dfrac{1}{\sqrt{(x + 1)^2 (x + 3)}}$;
- $y = \sqrt{(x + 4)^2 (x - 3)}$.
Розв'язок вправи № 2.15
Короткий розв'язок
1) $D(y) = [-4; -1) \cup (1; +\infty)$;
2) $D(y) = (-3; -1) \cup (-1; +\infty)$;
3) $D(y) = \{-4\} \cup [3; +\infty)$.
Детальний розв'язок з поясненнями
Ключ до розв'язання: Область визначення складної функції — це перетин областей визначення всіх її частин. Пам'ятаємо: знаменник не дорівнює нулю, вираз під коренем парного степеня невід'ємний, а якщо корінь у знаменнику — строго додатний. Додатково: Функції та їх властивості.
1) Для $y = \dfrac{1}{\sqrt{|x| - 1}} + \sqrt{x + 4}$ умови такі:
- $|x| - 1 > 0 \Rightarrow |x| > 1 \Rightarrow x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$;
- $x + 4 \geq 0 \Rightarrow x \geq -4$.
Накладаючи ці умови на одну пряму, отримуємо: $D(y) = [-4; -1) \cup (1; +\infty)$.
2) Для $y = \dfrac{1}{\sqrt{(x + 1)^2 (x + 3)}}$ вираз під коренем у знаменнику має бути більшим за нуль:
Оскільки квадрат $(x + 1)^2 \geq 0$ завжди, то вираз додатний, коли:
- $x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3$;
- $(x + 1)^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$.
Отже, $D(y) = (-3; -1) \cup (-1; +\infty)$.
3) Для $y = \sqrt{(x + 4)^2 (x - 3)}$ вираз під коренем має бути невід'ємним:
Добуток $\geq 0$, якщо хоча б один множник дорівнює нулю, або вони мають однаковий знак (враховуючи, що квадрат завжди $\geq 0$):
- $(x + 4)^2 = 0 \Rightarrow x = -4$;
- $x - 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3$.
Об'єднуємо результати: $D(y) = \{-4\} \cup [3; +\infty)$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.